Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Định nghĩa

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

              \(at+b=0\),                         (1)

trong đó \(a,b\) là các hằng số \(\left(a\ne0\right)\) và \(t\) là một trong các hàm số lượng giác.

Ví dụ 1:

+) \(2\sin x-3=0\) là phương trình bậc nhất đối với ẩn \(\sin x\)  ;

+) \(\sqrt{3}\tan x+1=0\) là phương trình bậc nhất đối với ẩn \(\tan x\).

2. Cách giải

Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho \(a\), ta đưa phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

       a) \(3\cos x+5=0\)               ;              b) \(\sqrt{3}\cot x-3=0\)

Giải:

a) Từ \(3\cos x+5=0\) chuyển vế ta có: \(3\cos x=-5\)   (2)

    Chia hai vế của phương trình (2) cho 3, ta được \(\cos x=-\dfrac{5}{3}\)

    Vì \(-\dfrac{5}{3}< -1\) nên phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Từ \(\sqrt{3}\cot x-3=0\), chuyển vế ta có: \(\sqrt{3}\cot x=3\)    (3)

    Chia hai vế của phương trình (3) cho \(\sqrt{3}\), ta được \(\cot x=\sqrt{3}\)

    Vì \(\sqrt{3}=\cot\dfrac{\pi}{6}\) nên \(\cot x=\sqrt{3}\) \(\Leftrightarrow\) \(\cot x=\cot\dfrac{\pi}{6}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi,k\in Z\).

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Ví dụ 3: Giải các phương trình:

       a) \(5\cos x-2\sin2x=0\)    (4);

       b) \(8\sin x\cos x\cos2x=-1\)    (5).

Giải:

a) Ta có \(5\cos x-2\sin2x=0\) \(\Leftrightarrow\) \(5\cos x-4\sin x\cos x=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\cos x\left(5-4\sin x\right)=0\)

    \(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}\cos x=0\\5-4\sin x=0\end{matrix}\right.\)

   + \(\cos x=0\Leftrightarrow\) \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z\)

   + \(5-4\sin x=0\Leftrightarrow\sin x=\dfrac{5}{4}\). Vì \(\dfrac{5}{4}>1\) nên phương trình này vô nghiệm.

   Vậy phương trình (4) có các nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z\).

b) Ta có : \(8\sin x\cos x\cos2x=-1\) \(\Leftrightarrow\) \(4\sin2x\cos2x=-1\Leftrightarrow2\sin4x=-1\)

    \(\Leftrightarrow\) \(\sin4x=-\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}4x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\4x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-\pi}{24}+k\dfrac{\pi}{2}\\x=\dfrac{7\pi}{24}+k\dfrac{\pi}{2}\end{matrix}\right.\) (\(k\in Z\))

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng  giác là phương trình có dạng

               \(at^2+bt+c=0\) ,

trong đó \(a,b,c\) là các hằng số (\(a\ne0\)) và \(t\) là một trong các hàm số lượng giác.

Ví dụ 4: 

+) \(2\sin^2x+3\sin x+2=0\) là một phương trình bậc hai đối với \(\sin x\)  ;

+) \(3\tan^2x-2\sqrt{3}\tan x+3=0\) là một phương trình bậc hai đối với \(\tan x\)  ;

+) \(3\cot^2x-5\cot x-7=0\) là một phương trình bậc hai đối với \(\cot x\) ;...

2. Cách giải

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có), rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ 5: Giải phương trình \(2\sin^2\dfrac{x}{2}+\sqrt{2}\sin\dfrac{x}{2}-2=0\).

Giải:

Đặt \(\sin\dfrac{x}{2}=t\) với điều kiện \(-1\le t\le1\)  (*)

ta được phương trình bậc hai theo \(t\) là \(2t^2+\sqrt{2}t-2=0\)  (1) 

Phương trình (1) có hai nghiệm là \(t_1=-\sqrt{2}\)  và \(t_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) nhưng chỉ có \(t_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) thoả mãn điều kiện (*).

Vậy ta có: \(\sin\dfrac{x}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(\sin\dfrac{x}{2}=\sin\dfrac{\pi}{4}\)

              \(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}\dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\\\dfrac{x}{2}=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{2}+k4\pi\\x=\dfrac{3\pi}{2}+k4\pi\end{matrix}\right.\) (\(k\in Z\))

3. Phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Ví dụ 6: Giải phương trình: \(6\cos^2x+5\sin x-2=0\)   (2)

Giải:

Biến đổi \(\cos^2x=1-\sin^2x\) ta đưa phương trình (2) về dạng

      \(-6\sin^2x+5\sin x+4=0\)

Đặt \(\sin x=t\) với \(-1\le t\le1\), ta được phương trình bậc hai theo \(t\) là \(-6t^2+5t+4=0\)  (3)

Phương trình (3) có hai nghiệm là \(t_1=\dfrac{4}{3}\) và \(t_2=-\dfrac{1}{2}\) nhưng chỉ có nghiệm \(t_2=-\dfrac{1}{2}\) thoả mãn điều kiện. 

Vì vậy ta có: \(\sin x=-\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(\sin x=\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\)

   \(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\) (\(k\in Z\))

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI \(\sin x\) VÀ \(\cos x\)

1. Công thức biến đổi biểu thức \(a\sin x+b\cos x\)

Công thức tổng quát: 

            \(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(x+\alpha\right)\)    (1)

            với \(\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\) và \(\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

2. Phương trình dạng \(a\sin x+b\cos x=c\)

Xét phương trình \(a\sin x+b\cos x=c\)   (2)

với \(a,b,c\in R\), \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng 0 (\(a^2+b^2\ne0\))

Nếu \(a=0,b\ne0\) hoặc \(a\ne0,b=0\), phương trình (2) có thể đưa ngay về phương trình lượng giác cơ bản. Nếu \(a\ne0,b\ne0\) ta áp dụng công thức (1).

Ví dụ 9: Giải phương trình: \(\sin x+\sqrt{3}\cos x=1\).

Giải:

Theo công thức (1) ta có: 

       \(\sin x+\sqrt{3}\cos x=\sqrt{1^2+\left(\sqrt{3}\right)^2}\sin\left(x+\alpha\right)=2\sin\left(x+\alpha\right)\)

trong đó \(\cos\alpha=\dfrac{1}{2}\), \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Từ đó lấy \(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\) thì ta có

       \(\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)