Bài 1: Hàm số lượng giác

I. ĐỊNH NGHĨA

           Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt 

1. Hàm số sin và hàm số côsin

a) Hàm số sin

Có thể đặt tương ứng mỗi số thực \(x\) với một điểm \(M\) duy nhất trên đường tròn lượng giác mà số đo cung \(\widehat{AM}\) bằng \(x\) (rad) hoàn toàn xác định, đó chính là giá trị \(\sin x\).

Biểu diễn giá trị của \(x\) trên trục hoành và giá trị của \(\sin x\) trên trục tung, ta được hình:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực \(x\) với số thực \(\sin x\):

              \(\sin\) : \(R\rightarrow R\)

                      \(x\rightarrow y=\sin x\)

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là \(y=\sin x\).

Tập xác định của hàm số \(\sin\) là \(R\).

b) Hàm số côsin

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực \(x\) với số thực \(\cos x\):

                \(\cos\) : \(R\rightarrow R\)

                        \(x\rightarrow y=\cos x\)

được gọi là hàm số côsin , kí hiệu là \(y=\cos x\).

Tập xác định của hàm số côsin là \(R\).

2. Hàm số tang và hàm số côtang

a) Hàm số tang

Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức :

                           \(y=\dfrac{\sin x}{\cos x},\left(\cos x\ne0\right)\),

ký hiệu là \(y=\tan x\).

- Vì \(\cos x\ne0\) khi và chỉ khi \(x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\left(k\in Z\right)\) nên tập xác định của hàm số \(y=\tan x\) là \(D=R\)/\(\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z\right\}\).

b) Hàm số côtang

Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức :

                              \(y=\dfrac{\cos x}{\sin x},\left(\sin x\ne0\right)\),

ký hiệu là \(y=\cot x\).

- Vì \(\sin x\ne0\) khi và chỉ khi \(x\ne k\pi\left(k\in Z\right)\) nên tập xác định của hàm số \(y=\cot x\) là 

\(D=R\)/\(\left\{k\pi,k\in Z\right\}\).

Nhận xét: Hàm số \(y=\sin x\) là hàm số lẻ, hàm số \(y=\cos x\) là hàm số chẵn.

                 Từ đó suy ra các hàm số \(y=\tan x\) và \(y=\cot x\) đều là những hàm số lẻ.

II. TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Người ta chứng minh được rằng \(T=2\pi\) là số dương nhỏ nhất thoả mãn đẳng thức

           \(\sin\left(x+T\right)=\sin x,\forall x\in R\)

Hàm số \(y=\sin x\) thoả mãn đẳng thức trên được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi\).

Tương tự, hàm số \(y=\cos x\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi\).

Các hàm số \(y=\tan x\) và \(y=\cot x\) cũng là các hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi\).

III. SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Hàm số \(y=\sin x\)

Từ định nghĩa ta thấy hàm số \(y=\sin x\):

     - Xác định với mọi \(x\in R\) và \(-1\le\sin x\le1\)  ;

     - Là hàm số lẻ  ;

     - Là hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi\).

a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số \(y=\sin x\) trên đoạn \(\left[0;\pi\right]\)

Xét các số thực \(x_1,x_2\) trong đó \(0\le x_1< x_2\le\dfrac{\pi}{2}\). Đặt \(x_3=\pi-x_2\), \(x_4=\pi-x_1\).

Biểu diễn chúng trên đường tròn lượng giác và xét \(\sin x_i\) tương ứng (\(i=1,2,3,4\)):

Hàm số \(y=\sin x\) đồng biến trên \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\) và nghịch biến trên \(\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số \(y=\sin x\) trên đoạn \(\left[0;\pi\right]\) đi qua các điểm \(\left(0;0\right)\), \(\left(\dfrac{\pi}{2};1\right)\) và \(\left(\pi;0\right)\).

Chú ý: Vì hàm số \(y=\sin x\) là hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[0;\pi\right]\) qua gốc toạ độ \(O\) ta được đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[-\pi;0\right]\).

           Đồ thị hàm số \(y=\sin x\) trên đoạn \(\left[-\pi;\pi\right]\) được biểu diễn như sau:

b) Đồ thị hàm số \(y=\sin x\) trên \(R\)

Hàm số \(y=\sin x\) là hàm số tuần hoàn chu kì \(2\pi\) nên với mọi \(x\in R\) ta có:

              \(\sin\left(x+k2\pi\right)=\sin x,k\in Z\)

Do đó muốn có đồ thị hàm số \(y=\sin x\) trên \(R\) ta tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[-\pi;\pi\right]\) song song với trục hoành từng đoạn có độ dài \(2\pi\).

c) Tập giá trị của hàm số \(y=\sin x\)

Từ đồ thị ta rút ra kết luận: Tập giá trị của hàm số \(y=\sin x\) là \(\left[-1;1\right]\).

2. Hàm số \(y=\cos x\)

Từ định nghĩa ta thấy hàm số \(y=\cos x\):

     - Xác định với mọi \(x\in R\) và \(-1\le\cos x\le1\)  ;

     - Là hàm số chẵn  ;

     - Là hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi\).

Với mọi \(x\in R\) ta có đẳng thức:   \(\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos x\).

Từ đó, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số \(y=\sin x\) sang trái một đoạn có độ dài bằng \(\dfrac{\pi}{2}\) và song song với trục hoành, ta được đồ thị hàm số \(y=\cos x\):

Từ đồ thị hàm số trên ta suy ra:

Hàm số \(y=\cos x\) đồng biến trên đoạn \(\left[-\pi;0\right]\) và nghịch biến trên đoạn \(\left[0;\pi\right]\).

Bảng biến thiên:

Tập giá trị của hàm số \(y=\cos x\) là \(\left[-1;1\right]\).

Đồ thị của các hàm số \(y=\sin x\), \(y=\cos x\) được gọi chung là các đường hình sin.

3. Hàm số \(y=\tan x\)

Từ định nghĩa ta thấy hàm số \(y=\tan x\):

     - Có tập xác định là ​\(D=R\)\\(\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z\right\}\)  ;​

     - Là hàm số lẻ ;

     - Là hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi\).

a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số ​\(y=\tan x\) trên nửa khoảng \([0;\dfrac{\pi}{2})\)​

Nhận xét: Hàm số ​​\(y=\tan x\) đồng biến trên nửa khoảng \([0;\dfrac{\pi}{2})\).

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số \(y=\tan x\) trên nửa khoảng \([0;\dfrac{\pi}{2})\) :

b) Đồ thị hàm số \(y=\tan x\) trên \(D\)

Vì hàm số \(y=\tan x\) là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gốc toạ độ \(O\).

Từ đó ta được đồ thị hàm số \(y=\tan x\) trên khoảng \(\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)\):

Vì hàm số \(y=\tan x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi\) nên tịnh tiến đồ thị hàm số \(y=\tan x\) trên khoảng \(\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)\) song song với trục hoành từng đoạn có độ dài \(\pi\) ta được đồ thị hàm số \(y=\tan x\) trên \(D\):

Tập giá trị của hàm số \(y=\tan x\) là khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\).

4. Hàm số \(y=\cot x\)

Từ định nghĩa ta thấy hàm số \(y=\cot x\) :

     - Có tập xác định là \(D=R\backslash\left\{k\pi;k\in Z\right\}\)  ;

     - Là hàm số lẻ  ;

     - Làm hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi\).

a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số \(y=\cot x\) trên khoảng \(\left(0;\pi\right)\)

Nhận xét: Hàm số \(y=\cot x\) nghịch biến trên khoảng \(\left(0;\pi\right)\)

Bảng biến thiên: 

Đồ thị hàm số \(y=\cot x\) trên khoảng \(\left(0;\pi\right)\):

b) Đồ thị hàm số \(y=\cot x\) trên \(D\)

Tập giá trị của hàm số \(y=\cot x\) là khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\).