Lời giải:
Đặt
\(A=4n^2(n+2)+4n(n+20)\)
\(=4n(n^2+2n+n+20)=4n(n^2+3n+20)\)
Nếu $n$ chẵn thì \(4n\vdots 8\Rightarrow A\vdots 8\)
Nếu $n$ lẻ thì $n^2$ lẻ, $3n$ lẻ nên $n^2+3n+20$ chẵn
\(\Rightarrow 4(n^2+3n+20)\vdots 8\Rightarrow A\vdots 8\)
Vậy $A\vdots 8(1)$
-------
Mặt khác, xét số dư của $n$ khi chia cho $3$
\(\bullet n=3k\Rightarrow A=4n(n^2+3n+20)\vdots 3\)
\(\bullet n=3k+1\Rightarrow A=4n(9k^2+6k+1+3n+20)\)
\(=4n(9k^2+6k+3n+21)=12n(3k^2+2k+n+7)\vdots 3\)
\(\bullet n=3k+2\Rightarrow A=4n(9k^2+12k+4+3n+20)\)
\(=12n(3k^2+4k+n+8)\vdots 3\)
Vậy $A\vdots 3 (2)$
Từ $(1);(2)$ mà $(3,8)$ nguyên tố cùng nhau nên $A\vdots (3.8)$ hay $A\vdots 24$ (đpcm)
Cách khác:
Ta có:
\(A=4n^2(n+2)+4n(n+20)\)
\(=4n(n^2+2n+n+20)=4n(n^2+3n+20)\)
\(=4n(n^2+3n+2)+4n.18=4n(n+1)(n+2)+72n\)
Ta thấy $n(n+1)(n+2)$ là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên \(n(n+1)(n+2)\vdots 6\Rightarrow 4n(n+1)(n+2)\vdots 24\)
Mà \(72n\vdots 24\)
Do đó: \(A=4n(n+1)(n+2)+72n\vdots 24\)
Ta có đpcm.
