b) Ta có: \(n^4-n^2=n^2\left(n^2-1\right)=n\cdot n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n+1\right)\)
*Trường hợp 1: n chia 2 dư 1
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n-1⋮2\\n+1⋮2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow n\cdot n\cdot\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮4\)
hay \(n^4-n^2⋮4\)(1)
*Trường hợp 2: n chia hết cho 2
\(\Leftrightarrow n^2⋮4\)
\(\Leftrightarrow n\cdot n\cdot\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮4\)
hay \(n^4-n^2⋮4\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(n^4-n^2⋮4\forall n\in N\)(đpcm)
d) Ta có: \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Ta có: n và n-1 là hai số tự nhiên liên tiếp
\(\Leftrightarrow n\cdot\left(n-1\right)⋮2\)
\(\Leftrightarrow n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n+1\right)⋮2\)
\(\Leftrightarrow n^3-n⋮2\)(3)
Ta có: n, n-1 và n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp
\(\Leftrightarrow n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n+1\right)⋮3\)
\(\Leftrightarrow n^3-n⋮3\)(4)
Từ (3), (4) và ƯCLN(3,2)=1 suy ra \(n^3-n⋮3\cdot2\)
hay \(n^3-n⋮6\forall n\in N\)
a) Ta có: \(15^n+15^{n+2}=15^n+15^n\cdot225\)
\(=15^n\cdot\left(1+225\right)=15^n\cdot226=2\cdot15^n\cdot113⋮113\forall n\in N\)
c) Ta có: \(50^{n+2}-50^{n+1}\)
\(=50^n\cdot2500-50^n\cdot50\)
\(=50^n\cdot\left(2500-50\right)=50^n\cdot2450\)
\(=10\cdot50^n\cdot245⋮245\forall n\in N\)(đpcm)