Ta có: \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(n^2+2n\right)=\left(n+1\right)\left[n\left(n+2\right)\right]=n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)\)
Vì tích 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6 nên đa thức trên luôn chia hết hco 6 với mọi số nguyên thuộc n
Theo đề bài ta có:
n2(n+1)+2n(n+1)= (n+1) (n2+2n)
= n(n+1) (n+2)
Vì ta nhận thấy n(n+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp (1)
và n(n+1) (n+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
n(n+1) (n+2) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
\(\text{Ta có : }n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\\ \left(n^2+2n\right)\left(n+1\right)\\ n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
Do \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp
nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2;3\left(1\right)\)
\(\text{Ta lại có: }2=1\cdot2\\ 3=1\cdot3\\ \Rightarrow\: ƯCLN_{\left(2;3\right)}=1\\ \Rightarrow2\text{ và }3\text{ là 2 số nguyên tố cùng nhau }\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra:
\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2\cdot3\\ \Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\left(đpcm\right)\)
Vậy \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)⋮6\)
theo bài ra ta có:
\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\)
\(=\left(n+1\right)\left(n^2+2n\right)\)
\(=\left(n+1\right)\left[n\left(n+2\right)\right]\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho 6
\(\Rightarrow n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\) chia hết cho 6