Question

chứng minh rằng a=b=c nếu có 1 trong các điều kiện sau:

a,a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca

b,(a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2)

c,(a+b+c)^2=3(ab+ac+bc)

Answer 1

a,Ta có: a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca
<=> 2.a^2 + 2.b^2 + 2.c^2 = 2.ab + 2.bc + 2.ca
<=> ( a^2 - 2ab + b^2 ) + ( b^2 - 2bc +c^2 ) + ( c^2 - 2ac + a^2 ) =0
<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c -a)^2 =0 (1)
Vì (a-b)^2≧0 ; (b-c)^2≧0 ; (c -a)^2 ≧ 0 với mọi a,b,c.
=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c -a)^2 ≧ 0 (2)
Từ (1) và (2) :
=>a - b = 0; b - c = 0 ; c - a = 0 => a=b=c
Vậy a=b=c.

b,Ta có:(a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2)

<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=3a^2+3b^2+3c^2

<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-3a^2-3b^2-3c^2=0

<=>-2a^2-2b^2-2c^2+2ab+2ac+2bc=0

<=>(-a^2+2ab-b^2)+(-b^2+2bc-c^2)+(-a^2+2ac-c^2)=0

<=>(-a+b)^2+(-b+c)^2+(-a+c)^2=0(1)

ta có:(-a+b)^2≧0, (-b+c)^2≧0, (-a+c)^2≧0(2)với mọi a,b,c.

từ (1)và (2)=>(-a+b)^2=0; (-b+c)^2=0; (-a+c)^2=0

<=>-a+b=0; -b+c=0; -a+c=0

<=>a=b=c

c, (a + b + c)^2=3(ab+ac+bc)
<=>a^2 +b^2+c^2+2ab+2ac+2bc -3ab-3ac-3bc=0
<=>a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0
<=> 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0
<=> (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) = 0
<=> (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0
<=> a = b = c

Chúc bạn học tốt