Bài 1: Chứng minh các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến
a) x² - 8x + 19
b) x² + y² - 4x + 2
c) 4x² + 4x + 3
d) x² - 2xy + 2y² + 2y + 5
Bài 2: Chứng minh các biểu thức sau luôn âm với mọi giá trị của biến
a) -x² + 2x - 7
b) -x² - 3x - 5
c) -x² - 6x - 10
d) -x² + 4xy - 5y² - 8y - 18
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) x² + 10x + 27
b) x² + x + 7
c) x² - 12x + 37
d) x² - 3x + 5
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a) -x² + 2x + 2
b) -x² - 8x + 17
c) - x² + 7x + 15
d) -x² - 5x + 11
e) -x² + 4x + y² - 12y + 47
g) -x² - x - y² - 3y + 13
Các bạn giúp mình làm hết nhé ,mình cảm ơn nhiều mà mình cũng cần gấp lắm
bài 4 câu (g) kết thúc
\(G=13-\left(x^2+x+y^2+3y\right)\)
\(G=13+\dfrac{5}{2}-\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}+y^2+3y+\dfrac{9}{4}\right)\)
\(G=\dfrac{31}{2}-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^2\le\dfrac{31}{2}\)
GTNN G=31/2
dẳng thức x=-1/2; y =-3/2
* Mỗi bài mình chỉ làm một nữa thôi bạn nhé
Bài 1 :
\(a.\)
\(x^2-8x+19\)
\(=\left(x^2-8x+16\right)+3\)
\(=\left(x-4\right)^2+3\)
Vì \(\left(x-4\right)^2+3\ge0\)
Vậy \(x^2-8x+19>0\)
\(b.\)
\(x^2+y^2-4x+2\)
\(=\left(x^2-4x+2\right)+y^2\)
\(=\left(x-\sqrt{2}\right)^2+y^2\)
Vì \(\left(x-\sqrt{2}\right)^2+y^2\ge0\)
Vậy \(x^2+y^2-4x+2>0\)
Bài 2 :
\(a.\)
\(-x^2+2x-7\)
\(=-\left(x^2-2x+7\right)\)
\(=-\left[\left(x^2-2x+1\right)+6\right]\)
\(=-\left[\left(x-1\right)^2+6\right]\)
Vì \(-\left[\left(x-1\right)^2+6\right]\le0\)
Vậy \(-x^2+2x-7< 0\)
\(b.\)
\(-x^2-3x-5\)
=\(-\left(x^2+3x+5\right)\)
\(=-\left(x^2+2x.1,5+1,5^2+\dfrac{11}{4}\right)\)
\(=-\left[\left(x+1,5\right)^2+\dfrac{11}{4}\right]\le0\)
Vậy \(-x^2-3x-5< 0\)
Bài 3 :
\(a.\)
\(x^2+10x+27\)
\(=\left(x^2+10x+25\right)+2\)
\(=\left(x+5\right)^2+2\ge0+2=2\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi :
\(\left(x+5\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x=-5\)
Vậy : GTNN của biểu thức bằng \(2\Leftrightarrow x=-5\)
\(b.\)
\(x^2+x+7\)
\(=x^2+2x.\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{27}{4}\)
\(=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{27}{4}\ge=0+\dfrac{27}{4}=\dfrac{27}{4}\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi :
\(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}\)
Vậy : GTNN của biểu thức bằng \(\dfrac{27}{4}\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}\)
Bài 4 :
\(a.\)
\(-x^2+2x+2\)
\(=-\left(x^2-2x-2\right)\)
\(=-\left\{\left[x^2-2x.\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right]+\dfrac{7}{4}\right\}\)
\(=-\left[\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\right]\)
\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{7}{4}\ge0-\dfrac{7}{4}=-\dfrac{7}{4}\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi :
\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)
Vậy : GTNN của biểu thức bằng \(-\dfrac{7}{4}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)
\(b.\)
\(-x^2-8x+17\)
\(=-\left(x^2+8x-17\right)\)
\(=-2\left[x^2+4x-\dfrac{17}{2}\right]\)
\(=-2\left[x^2+2x.2+4+\dfrac{9}{2}\right]\)
\(=-2\left[\left(x-2\right)^2+\dfrac{9}{2}\right]\)
\(=\left(x-2\right)^2-\dfrac{9}{2}\ge0-\dfrac{9}{2}=-\dfrac{9}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi :
\(\left(x-2\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x=2\)
Vậy : GTNN của biểu thức bằng \(-\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow x=2\)
\(c.\)
\(-x^2+7x+15\)
\(=-\left(x^2-7x-15\right)\)
\(=-2\left(x^2-\dfrac{7}{2}x-\dfrac{15}{2}\right)\)
\(=-2\left[x^2-2x.\dfrac{7}{2}+\dfrac{49}{4}-\dfrac{19}{4}\right]\)
\(=-2\left[\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2-\dfrac{19}{4}\right]\)
\(=\left[\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2+\dfrac{19}{4}\right]\ge0+\dfrac{19}{4}=\dfrac{19}{4}\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi :
\(\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{7}{2}\)
Vậy : GTNN của biểu thức bằng \(\dfrac{19}{4}\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{2}\)