a)
\(A=x^2-x+1=x^2-2.x.\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\)
\(=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\)
Vì $(x-\frac{1}{2})^2\geq 0, \forall x$
$\Rightarrow A=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}$
Vậy GTNN của biểu thức là $\frac{3}{4}$. Giá trị này đạt được khi $x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$
b)
\(B=4x^2+y^2-4x-2y+3\)
$=(4x^2-4x+1)+(y^2-2y+1)+1$
$=(2x-1)^2+(y-1)^2+1$
$\geq 0+0+1=1$
Vậy GTNN của $B$ là $1$. Giá trị này đạt được khi \(\left\{\begin{matrix} (2x-1)^2=0\\ (y-1)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}; y=1\)
c)
\(C=x^2+x+1=x^2+2.x.\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\)
\(=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\geq 0+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)
Vậy GTNN của $C$ là $\frac{3}{4}$. Giá trị này đạt tại $x+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}$
e)
\(E=x^2+5x+8=x^2+2.x.\frac{5}{2}+(\frac{5}{2})^2+\frac{7}{4}\)
\(=(x+\frac{5}{2})^2+\frac{7}{4}\geq 0+\frac{7}{4}=\frac{7}{4}\)
Vậy GTNN của $E$ là $\frac{7}{4}$. Giá trị này đạt tại $x+\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow x=-\frac{5}{2}$
g)
\(G=2x^2+8x+9=2(x^2+4x+4)+1\)
\(=2(x+2)^2+1\)
\(\geq 2.0+1=1\)
Vậy GTNN của $G$ là $1$. Giá trị này đạt được khi $(x+2)^2=0\Leftrightarrow x=-2$
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) A= x\(^2\) -x +1
A=[x\(^2\)-2x.\(\frac{1}{2}\)+(\(\frac{1}{2}\))\(^2\)]+\(\frac{3}{4}\)
A=(x-\(\frac{1}{2}\))\(^2\)+\(\frac{3}{4}\)
Vì (x-\(\frac{1}{2}\))\(^2\)≥0 \(\forall\)x
nên (x-\(\frac{1}{2}\))\(^2\)+\(\frac{3}{4}\)≥\(\frac{3}{4}\) \(\forall\)x
Dấu "=" xảy ra ⇔ x-\(\frac{1}{2}\)=0
⇔ x=\(\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của bt A là \(\frac{3}{4}\) tại x=\(\frac{1}{2}\)
b) B= 4x\(^2\) +y\(^2\) -4x -2y +3
B=(4x\(^2\) -4x +1) +(y\(^2\)-2y +1)+1
B=[(2x)\(^2\)-2.2x+1]+(y-1)\(^2\)+1
B=(2x-1)\(^2\)+(y-1)\(^2\)+1
Vì (2x-1)\(^2\)≥0 \(\forall\)x
(y-1)\(^2\)≥0 \(\forall\)y
nên (2x-1)\(^2\)+(y-1)\(^2\)+1≥1 \(\forall\)x,y
Dấu "=" xảy ra ⇔\(\left\{{}\begin{matrix}2x-1=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\y=1\end{matrix}\right.\)
Vậy GTNN của bt B là 1 tại x=\(\frac{1}{2}\);y=1
c) C= x\(^2\) +x +1
C=[x\(^2\)+2x.\(\frac{1}{2}\)+(\(\frac{1}{2}\))\(^2\)]+\(\frac{3}{4}\)
C=(x+\(\frac{1}{2}\))\(^2\)+\(\frac{3}{4}\)
Vì (x+\(\frac{1}{2}\))\(^2\)≥0 \(\forall\)x
nên (x+\(\frac{1}{2}\))\(^2\)+\(\frac{3}{4}\)≥\(\frac{3}{4}\) \(\forall\)x
Dấu "=" xảy ra ⇔ x+\(\frac{1}{2}\)=0
⇔ x= -\(\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của bt C là \(\frac{3}{4}\) tại x= -\(\frac{1}{2}\)
d) D= x\(^2\) + y\(^2\) -4(x+y) +16
D=x\(^2\) + y\(^2\) -4x - 4y +16
D=(x\(^2\) -4x +4)+ (y\(^2\)- 4y+4) + 8
D=(x-2)\(^2\)+(y-2)\(^2\)+8
Vì (x-2)\(^2\)≥0 \(\forall\)x
(y-2)\(^2\)≥0 \(\forall\)y
nên (x-2)\(^2\)+(y-2)\(^2\)+8 ≥8 \(\forall\)x,y
Dấu "=" xảy ra ⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\)
⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=2\end{matrix}\right.\)
Vậy GTNN của bt D là 8 tại x=2;y=2
e) E= x\(^2\) +5x +8
E= [x\(^2\) +2x.\(\frac{5}{2}\) +(\(\frac{5}{2}\))\(^2\)]+\(\frac{7}{4}\)
E=(x+\(\frac{5}{2}\))\(^2\)+\(\frac{7}{4}\)
Vì (x+\(\frac{5}{2}\))\(^2\)≥0 \(\forall\)x
nên (x+\(\frac{5}{2}\))\(^2\)+\(\frac{7}{4}\)≥\(\frac{7}{4}\) \(\forall\)x
Dấu "=" xảy ra ⇔ x+\(\frac{5}{2}\)=0
⇔ x= -\(\frac{5}{2}\)
Vậy GTNN của bt E là \(\frac{7}{4}\) tại x= -\(\frac{5}{2}\)
g) G= 2x\(^2\) +8x +9
G= 2(x\(^2\) +4x +4)+1
G=2(x+2)\(^2\)+1
Vì 2(x+2)\(^2\)≥0 \(\forall\)x
nên 2(x+2)\(^2\)+1 ≥1 \(\forall\)x
Dấu "=" xảy ra ⇔x+2=0
⇔x= -2
Vậy GTNN của bt G là 1 tại x= -2