Question

a) Chứng minh rằng: Nếu p và 8p2 +1 là những số nguyên tố thì 2p + 1 cũng là số nguyên tố.

b) Tìm số nguyên tố p để 2p2 + 1 cũng là số nguyên tố

Answer 1

a)Vì p và 8p^2 + 1 là các số nguyên tố.

-Xét  p = 2 => 8p^2 + 1 = 33 là hợp số (loại)

-Xét  p = 3 => 8p^2 + 1 = 73 là số nguyên tố (tm) => 2p + 1 = 7 là số nguyên tố

-Xét p > 3 => p chia 3 dư 1 hoặc 2 => p^2 chia 3 dư 1 => 8p^2 + 1 chia hết cho 3.

Mà 8p^2 + 1 > 3 => 8p^2 + 1 là hợp số (vô lí)

Vậy ta có đpcm

b)Vì p và 2p^2 + 1 là số nguyên tố.

-Xét p = 3 => 2p^2 + 1 = 19 là số nguyên tố (tm)

-Xét p khác 3 => p không chia hết cho 3 => p chia 3 dư 1,2 => p^2 chia 3 dư 1 => 2p^2 + 1 chia hết cho 3.Mà 2p^2 + 1 > 3 => 2p^2 + 1 là hợp số (loại)

Vậy p = 3