Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

\(a,x^2-y^2=\left(x+y\right)\left(x-y\right)=\left(87+13\right)\left(87-13\right)=100.74=7400\)\(b,x^3-3x^2+3x-1=\left(x-1\right)^3=\left(101-1\right)^3=100^3=1000000\)c,\(x^3+9x^2+27x+27=\left(x+3\right)^3=\left(97+3\right)^3=1000000\)

\(a,\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2=x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2=2\left(x^2+y^2\right)\)\(b,2\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2=2x^2-2y^2+x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2=3x^2\)\(c,\left(x-y+z\right)^2+\left(z-y\right)^2+2\left(x-y+z\right)\left(y-z\right)=\left[\left(x-y+z\right)-\left(z-y\right)\right]^2=\left(x-2y\right)^2\)

Bài giải:

a) (a + b)² = (a – b)² + 4ab

- Biến đổi vế trái:

(a + b)² = a² +2ab + b² = a² – 2ab + b² + 4ab

= (a – b)² + 4ab

Vậy (a + b)² = (a – b)² + 4ab

- Hoặc biến đổi vế phải:

(a – b)² + 4ab = a² – 2ab + b² + 4ab = a² + 2ab + b²

= (a + b)²

Vậy (a + b)² = (a – b)² + 4ab

b) (a – b)² = (a + b)² – 4ab

Biến đổi vế phải:

(a + b)² – 4ab = a² +2ab + b² – 4ab

= a² – 2ab + b² = (a – b)²

Vậy (a – b)² = (a + b)² – 4ab

Áp dụng: Tính:

a) (a – b)² = (a + b)² – 4ab = 7² – 4 . 12 = 49 – 48 = 1

b) (a + b)² = (a – b)² + 4ab = 20² + 4 . 3 = 400 + 12 = 412

a) \(x^2\) − 6x + 10

= ( \(x^2\) − 6x + 9) + 1

= \(\left(x-3\right)^2\) + 1

Ta thấy : \(\left(x-3\right)^2\) \(\ge\) 0

\(\left(x-3\right)^2\) + 1 > 0 với mọi x

b) \(4x-x^2\) − 5

= − ( − 4 + \(x^2\)+ 5)

= − ( \(x^2\) − 4x + 5)

= − (\(x^2\) − 4x + 4 +1)

= − (x − 2) \(^2\) − 1

Ta thấy : − (x − 2)\(^2\) \(\le\) 0

− (x − 2)\(^2\) − < 0 với mọi x

\(x^2\)\(x^2\)\(x^2\)

Bài giải:
Diện tích của miếng tôn là (a + b)²

Diện tích của miếng tôn phải cắt là (a – b)².

Phần diện tích còn lại là (a + b)² - (a – b)².

Ta có: (a + b)² - (a – b)² = a² + 2ab + b² – (a² – 2ab + b²)

= a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b²

= 4ab

Vậy phần diện tích hình còn lại là 4ab và không phụ thuộc vào vị trí cắt.

Bài giải:

a) (a + b + c)² = [(a + b) + c]² = (a + b)² + 2(a + b)c + c²

= a²+ 2ab + b² + 2ac + 2bc + c²

= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac.

b) (a + b – c)² = [(a + b) – c]² = (a + b)² - 2(a + b)c + c²

= a² + 2ab + b² - 2ac - 2bc + c²

= a² + b² + c² + 2ab - 2bc - 2ac.

c) (a – b –c)² = [(a – b) – c]² = (a – b)² – 2(a – b)c + c²

= a² – 2ab + b² – 2ac + 2bc + c²

= a² + b² + c² – 2ab + 2bc – 2ac.

a) x² + 2x + 1 = x² + 2.x.1+ 12 = ( x + 1)²

b) 9x² + y² + 6xy = (3x)² + 2.3.x.y + y² = (3x + y)²

c) 25a² + 4b2 – 20ab = (5a)² – 2.5.a.2b. + (2b)² = (5a – 2b)²

Hoặc 25a² + 4b2 – 20ab = (2b)² – 2.2b.5a. + (5a)² = (2b – 5a)²

d) x² – x + \(\dfrac{1}{4}\) = x² – 2.x. \(\dfrac{1}{2}\) + ( \(\dfrac{1}{2}\))2² = ( x - \(\dfrac{1}{2}\) )²

Hoặc x² – x + \(\dfrac{1}{4}\) = \(\dfrac{1}{4}\) - x + x² = (\(\dfrac{1}{2}\))² – 2. \(\dfrac{1}{2}\).x + x² = (\(\dfrac{1}{2}\) - x)²

a) x² + 2 . x . 3y + … = (…+3y)²

x² + 2 . x . 3y + (3y)² = (x + 3y)²

Vậy: x² + 6xy +9y² = (x + 3y)²

b) …-2 . x . 5y + (5y)² = (… - …)²;

x² – 2 . x . 5y + (5y)² = (x – 5y)²

Vậy: x² – 10xy + 25y² = (x – 5y)²

a) 101²=(100+1)²=100²+2.50.2+1²=10000+200+1=10201

b)199²=(200-1)²=200² -2.200.1+1²=40000-400+1=39601

c) 47.53=(50-3)(50+3)=50²-3²=2500-9=2491

a chia 5 dư 4=>a=5k+4

=>a²=(5k+4)(5k+4)

=(5k+4)5k+4(5k+4)

=(5k+4)5k+5.4k+3.5+1 chia 5 dư 1

=>đpcm