a: Xét tứ giác BHMK có \(\widehat{BHM}+\widehat{BKM}=90^0+90^0=180^0\)

nên BHMK là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔBMA vuông tại M có MH là đường cao

nên \(BH\cdot BA=BM^2\left(1\right)\)

Xét ΔBMC vuông tại M có MK là đường cao

nên \(BK\cdot BC=BM^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(BH\cdot BA=BK\cdot BC\)

a: Xét tứ giác BHMK có \(\widehat{BHM}+\widehat{BKM}=90^0+90^0=180^0\)

nên BHMK là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔBMA vuông tại M có MH là đường cao

nên \(BH\cdot BA=BM^2\left(1\right)\)

Xét ΔBMC vuông tại M có MK là đường cao

nên \(BK\cdot BC=BM^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(BH\cdot BA=BK\cdot BC\)

Sửa đề: BD cắt CE tại I

Ta có: AD+DC=AC

AE+EB=AB

mà AD=AE và AC=AB

nên DC=EB

Xét ΔEBC và ΔDCB có

EB=DC

\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)(ΔABC cân tại A)

BC chung

Do đó: ΔEBC=ΔDCB

=>\(\widehat{ECB}=\widehat{DBC}\)

=>\(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

=>IB=IC

=>I nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(2)

Ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra A,I,M thẳng hàng

a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBMD vuông tại M có

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{MBD}\)

Do đó: ΔBAD=ΔBMD

b: Xét ΔBKC có

KM,CA là các đường cao

KM cắt CA tại D

Do đó: D là trực tâm của ΔBKC

=>BD\(\perp\)KC tại N

a: \(A=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\right)\cdot\dfrac{x}{1-2x}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot\dfrac{x}{1-2x}\)

\(=\dfrac{x+x-1}{2x-1}\cdot\dfrac{-x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

b: \(B=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{5\sqrt{x}-2}{4-x}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-2+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)-5\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{-4\sqrt{x}+x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\dfrac{x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)

c: \(C=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{2x+36}{x-9}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{2x+36}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)-3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)+2x+36}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{x-3\sqrt{x}-3x-9\sqrt{x}+2x+36}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{-12\sqrt{x}+36}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\dfrac{-12\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\dfrac{-12}{\sqrt{x}+3}\)

d: \(D=\left(\dfrac{3\sqrt{x}}{x-16}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-4}\right):\dfrac{4}{\sqrt{x}-4}\)

\(=\dfrac{3\sqrt{x}+\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-4}{4}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{x}+4}{4\left(\sqrt{x}+4\right)}=\dfrac{4\left(\sqrt{x}+1\right)}{4\left(\sqrt{x}+4\right)}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4}\)

e: \(E=\dfrac{\sqrt{x}}{x-5\sqrt{x}}-\dfrac{10}{x-25}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}-5}-\dfrac{10}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+5-10}{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{x}+5}\)

d: \(0,5\cdot\dfrac{2}{\left(-5\right)^2}-\left(120\%-\dfrac{16}{5}\right):\dfrac{25}{8\cdot\left(-2023\right)^0}\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{25}-\left(\dfrac{6}{5}-\dfrac{16}{5}\right):\dfrac{25}{8}\)

\(=\dfrac{1}{25}-\dfrac{-10}{5}\cdot\dfrac{8}{25}\)

\(=\dfrac{1}{25}+\dfrac{16}{25}=\dfrac{17}{25}\)

Vì đường thẳng y=ax+b song song với đường thẳng y=2x+3 nên \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b\ne3\end{matrix}\right.\)

=>y=2x+b

Thay x=-2 và y=1 vào y=2x+b, ta được:

\(b+2\cdot\left(-2\right)=1\)

=>b-4=1

=>b=5(nhận)

Vậy: y=2x+5

\(7^{x+2}+7^x=21^4+269\cdot7^{x-1}\)

=>\(7^x\cdot49+7^x-269\cdot7^x\cdot\dfrac{1}{7}=21^4\)

=>\(7^x\left(50-\dfrac{269}{7}\right)=3^4\cdot7^4\)

=>\(7^x\cdot\dfrac{81}{7}=3^4\cdot7^4\)

=>\(\dfrac{7^x}{7}=7^4\)

=>x-1=4

=>x=5

\(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{x-2}{3}=1\)

=>\(\dfrac{3x+2\left(x-2\right)}{6}=1\)

=>3x+2(x-2)=6

=>5x=10

=>x=2

Câu II:

1: 

a: \(\dfrac{x-4}{y-3}=\dfrac{4}{3}\)

=>3(x-4)=4(y-3)

=>3x-12=4y-12

=>3x=4y

=>\(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{3}\)

mà x-y=5

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{x-y}{4-3}=\dfrac{5}{1}=5\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=5\cdot4=20\\y=5\cdot3=15\end{matrix}\right.\)

b: (x+1)(3y-2)=-55

=>\(\left(x+1;3y-2\right)\in\left\{\left(1;-55\right);\left(-55;1\right);\left(-1;55\right);\left(55;-1\right);\left(5;-11\right);\left(-11;5\right);\left(-5;11\right);\left(11;-5\right)\right\}\)

=>(x;y)\(\in\){(0;-53/3);(-56;1);(-2;19);(54;1/3);(4;-3);(-12;-7/3);(-6;13/3);(10;-1)}

mà x,y nguyên

nên (x;y)\(\in\){(-56;1);(-2;19);(4;-3);(10;-1)}

2: Để A nguyên thì \(3n-5⋮n+4\)

=>\(3n+12-17⋮n+4\)

=>\(-17⋮n+4\)

=>\(n+4\in\left\{1;-1;17;-17\right\}\)

=>\(n\in\left\{-3;-5;13;-21\right\}\)

Câu IV:

a: Vì Oy,Oz nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox nên tia Ox không thể nằm giữa hai tia Oy và Oz

TH1: Oz nằm giữa Ox và Oy

=>\(\widehat{zOx}+\widehat{zOy}=\widehat{xOy}\)

=>\(\widehat{zOx}=70^0-30^0=40^0\)

TH2: Oy nằm giữa Ox và Oy

=>\(\widehat{xOy}+\widehat{yOz}=\widehat{xOz}\)

=>\(\widehat{xOz}=70^0+30^0=100^0\)

b: Vì OA<OB

nên A nằm giữa O và B

\(\dfrac{OB+AB}{2}=\dfrac{OA+AB+AB}{2}=\dfrac{2MA+2AB}{2}=MA+AB=MB\)