Bài 1:
\(M=2x^2+4y^2+6x-4y+2024\)
\(=2x^2+6x+\dfrac{9}{2}+4y^2-4y+1+2018,5\)
\(=2\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(2y-1\right)^2+2018,5>=2018,5\forall x,y\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{3}{2}=0\\2y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{3}{2}\\y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Bài 2:
\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)
=>\(2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc\)
=>\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)=0\)
=>\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\a=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c\)
Ta có: a=b=c
mà a+b+c=2022
nên \(a=b=c=\dfrac{2022}{3}=674\)
a. xét tứ giác BEIF có:
BF // EI (gt); FI // BE (vì GF là đường trung bình của △ABC)
=> tứ giác BEIF là hình bình hành
b. vì GF là đường trung bình của △ABC
\(\Rightarrow GF=\dfrac{1}{2}AB=EB\left(1\right)\)
mà BE = FI (hình bình hành BEIF) (2)
TỪ (1) (2) => GF = FI
trong △ABC có GB = GC và FA = FC
=> GF là đường trung bình của △ABC
=> GF // AB => \(\widehat{BAC}=\widehat{GFC}=90^0\left(\text{đồng vị}\right)\)
xét tứ giác AGCI có:
FA = FC (gt); FG = FI (cmt)
=> tứ giác AGCI là hình bình hành
lại có \(\widehat{GFC}=90^0\left(cmt\right)\)
=> hình bình hành AGCI là hình thoi
để hình thoi AGCI là hình vuông thì \(\widehat{AGC}=90^0\)
=> AG là đường cao của △ABC; mà AG là đường trung tuyến của △ABC
=> △ABC là △ cân tại A
vậy để tứ giác AGCI là hình vuông thì △ABC là △ vuông cân tại A
