Gọi số học sinh giỏi, khá, trung bình lần lượt là a(bạn),b(bạn),c(bạn)

(Điều kiện: \(a,b,c\in Z^+\))

Số học sinh giỏi, khá, trung bình lần lượt tỉ lệ với 2;3;5

=>\(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{5}\)

Tổng số học sinh giỏi và trung bình nhiều hơn 2 lần số học sinh khá là 125 bạn nên a+c-2b=125

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{5}=\dfrac{a+c-2b}{2+5-2\cdot3}=\dfrac{125}{1}=125\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=125\cdot2=250\\b=125\cdot3=375\\c=125\cdot5=625\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Vậy: số học sinh giỏi, khá, trung bình lần lượt là 250(bạn),375(bạn),625(bạn)

Gọi số học sinh giỏi, khá, trung bình lần lượt là a(bạn),b(bạn),c(bạn)

(Điều kiện: \(a,b,c\in Z^+\))

Số học sinh giỏi, khá, trung bình lần lượt tỉ lệ với 2;3;5

=>\(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{5}\)

Tổng số học sinh giỏi và trung bình nhiều hơn 2 lần số học sinh khá là 125 bạn nên a+c-2b=125

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{5}=\dfrac{a+c-2b}{2+5-2\cdot3}=\dfrac{125}{1}=125\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=125\cdot2=250\\b=125\cdot3=375\\c=125\cdot5=625\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Vậy: số học sinh giỏi, khá, trung bình lần lượt là 250(bạn),375(bạn),625(bạn) 

Thay x=-4 vào phương trình, ta được:

\(\left(-4\right)^2-2\cdot\left(-4\right)+m+1=0\)

=>16+8+m+1=0

=>m=-25

Khi m=-25 thì phương trình sẽ trở thành:

\(x^2-2x+\left(-25\right)+1=0\)

=>\(x^2-2x-24=0\)

=>(x-6)(x+4)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-6=0\\x+4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=6\\x=-4\end{matrix}\right.\)

\(x_1^3+x_2^3=6^3+\left(-4\right)^3=216-64=200-48=152\)

Gọi chiều rộng là x(m)

(Điều kiện: x>0)

Chiều dài là x+12(m)

Diện tích là 540m² nên ta có: x(x+12)=540

=>\(x^2+12x-540=0\)

=>\(x^2+30x-18x-540=0\)

=>(x+30)(x-18)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x+30=0\\x-18=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-30\left(loại\right)\\x=18\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: Chiều rộng là 18m

Chiều dài là 18+12=30m

a: BF=2BE

=>E là trung điểm của BF

=>EB=EF

mà EB=2ED

nên EF=2ED

=>D là trung điểm của EF

Xét ΔFEC có

EK,CD là các đường trung tuyến

EK cắt CD tại G

Do đó: G là trọng tâm cùa ΔFEC

b: Xét ΔFEC có

G là trọng tâm

EK là đường trung tuyến

Do đó: \(EG=\dfrac{2}{3}EK\)

=>\(\dfrac{GE}{GK}=2\)

Xét ΔFEC có

G là trọng tâm

CD là đường trung tuyến

Do đó: \(\dfrac{CG}{CD}=\dfrac{2}{3}\)

Gọi (d): y=ax+b(a<>0) là phương trình đường thẳng cần tìm
Thay x=2 và y=2 vào (d), ta được:

\(a\cdot2+b=2\)

=>b=-2a+2

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=ax+b\)

=>\(\dfrac{1}{2}x^2-ax-b=0\)

\(\text{Δ}=\left(-a\right)^2-4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(-b\right)=a^2+2b\)

Để (P) tiếp xúc với (d) thì Δ=0

=>\(a^2+2b=0\)

=>\(a^2+2\left(-2a+2\right)=0\)

=>\(a^2-4a+4=0\)

=>\(\left(a-2\right)^2=0\)

=>a-2=0

=>a=2

=>\(b=-2\cdot2+2=-4+2=-2\)

Vậy: (d): y=2x-2

1: Xét (O) có

ΔBAC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBAC vuông tại A

Xét tứ giác BAHK có \(\widehat{BAH}+\widehat{BKH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BAHK nội tiếp

2: Xét ΔCKH vuông tại K và ΔCAB vuông tại A có

\(\widehat{KCH}\) chung

Do đó: ΔCKH~ΔCAB

=>\(\dfrac{CK}{CA}=\dfrac{CH}{CB}\)

=>\(CH\cdot CA=CK\cdot CB\)

3: Xét (O) có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBFC vuông tại F

=>BF\(\perp\)EC tại F

Xét ΔEBC có

EK,CA là các đường cao

EK cắt CA tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔEBC

=>BH\(\perp\)EC

mà BF\(\perp\)EC

và BH,BF có điểm chung là B

nên B,H,F thẳng hàng

a: Xét tứ giác BMEN có \(\widehat{BME}+\widehat{BNE}=90^0+90^0=180^0\)

nên BMEN là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔBEA vuông tại E có EM là đường cao

nên \(BM\cdot BA=BE^2\left(1\right)\)

Xét ΔBEC vuông tại E có EN là đường cao

nên \(BN\cdot BC=BE^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(BM\cdot BA=BN\cdot BC\)

a: Xét ΔNMD vuông tại M và ΔNED vuông tại E có

ND chung

\(\widehat{MND}=\widehat{END}\)

Do đó: ΔNMD=ΔNED

b: Ta có: ΔNMD=ΔNED

=>DM=DE

mà DE<DP(ΔDEP vuông tại E)

nên DM<DP

a: Xét tứ giác BMEN có \(\widehat{BME}+\widehat{BNE}=90^0+90^0=180^0\)

nên BMEN là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔBEA vuông tại E có EM là đường cao

nên \(BM\cdot BA=BE^2\left(1\right)\)

Xét ΔBEC vuông tại E có EN là đường cao

nên \(BN\cdot BC=BE^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(BM\cdot BA=BN\cdot BC\)