Cho A=4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y2z2
CMR: A\(\ge\) 0 \(\forall\) x;y;z
TN
Những câu hỏi liên quan
\(CMR:\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c},\forall x,y,z,a,b,c>0\)
Ta có bđt : \(\frac{m^2}{n}+\frac{p^2}{q}\ge\frac{\left(m+p\right)^2}{n+q}\)\(\left(m,n,p,q>0\right)\)(1)
Thật vậy \(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{m^2q+p^2n}{nq}\ge\frac{\left(m+p\right)^2}{n+q}\)
\(\Leftrightarrow m^2n\left(n+q\right)+p^2n\left(n+q\right)\ge nq\left(m+p\right)^2\)
\(\Leftrightarrow............\)(Phá tung ra + chuyển vế)
\(\Leftrightarrow\left(mq-pn\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Áp dụng (1) ta được
\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)(ĐPCM)
Dấu "=" khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)
P/S: nếu hỏi tại sao chỗ bđt phụ lại đặt m,n,p,q khó nhìn thì hãy bảo tại cái đề bài đã có a,b,x,y rồi -.-
Đúng 0
Bình luận (0)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\left[\left(\frac{x}{\sqrt{a}}\right)^2+\left(\frac{y}{\sqrt{b}}\right)^2+\left(\frac{z}{\sqrt{c}}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{c}\right)^2\right]\)\(\ge\left(x+y+z\right)^2\)
Hay \(\left(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
Chia hai vế của BĐT cho (a + b + c),ta có đpcm: \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
bài 1:chứng minh cac bất phương trình sau:
1) 2xyz≤ x2+y2z2 , (∀x,y,z)
2) x4+y4≥x3y+xy3 , (∀x,y)
3) a+b≤\(\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\) , (∀a,b≥0)
4) 2a(b+c)≤2a2+b2+c2 , (∀a,b)
∀ x, y, z, cmr:
a) x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx
b) x2 + y2 + z2 + 3 ≥ 2(x + y +z)
c) \(\frac{x^2+y^2+z^2}{3}\ge\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3\)
a/ \(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
b/ \(\Leftrightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1+z^2-2z+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
c/ BĐT sai
Đúng 0
Bình luận (0)
Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:
A: “\(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} + 4x + 5 \ne 0\)”
B: “\(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} + x \ge 1\)”
C: “\(\exists x \in \mathbb{Z},2{x^2} + 3x - 2 = 0\)”
D: “\(\exists x \in \mathbb{Z},{x^2} < x\)”
Phủ định của mệnh đề A là mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} + 4x + 5 = 0\)”
Phủ định của mệnh đề B là mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} + x < 1\)”
Phủ định của mệnh đề C là mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{Z},2{x^2} + 3x - 2 \ne 0\)”
Phủ định của mệnh đề D là mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{Z},{x^2} \ge x\)”
Đúng 0
Bình luận (0)
a,chứng tỏ rằng với \(\forall\) a,b\(\ge\)0 thì:
(ax+by)(bx+ay)\(\ge\)(a+b)\(^2\)xy
b, với x,y,z >0 chứng mình rằng (x+y+z)(\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\))\(\ge\)9
1. Cho a0,b0. C/m frac{a}{sqrt{b}}-sqrt{a}gesqrt{b}-frac{b}{sqrt{a}}2. Cho ane0,bne0. C/m a^4+b^4lefrac{a^6}{b^2}+frac{b^6}{a^2}3. C/m frac{x^2}{y^2}+frac{y^2}{z^2}+frac{z^2}{x^2}gefrac{x}{y}+frac{y}{z}+frac{z}{x}4. C/m frac{x^2+y^2}{2}geleft(frac{x+y}{2}right)^25. forall a,b0. C/m frac{a^3}{b}+b^3a^2+ab
Đọc tiếp
1. Cho \(a>0,b>0\). C/m \(\frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{a}\ge\sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}}\)
2. Cho \(a\ne0,b\ne0\). C/m \(a^4+b^4\le\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\)
3. C/m \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)
4. C/m \(\frac{x^2+y^2}{2}\ge\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\)
5. \(\forall a,b>0\). C/m \(\frac{a^3}{b}+b^3>a^2+ab\)
1.a>0.√a
2.c/mb/z+x/y=a/b6
=x/y=y/x
4.xxy/2 2
5.a/b+ab=ab2
Đúng 0
Bình luận (0)
TP
12 tháng 5 2023 lúc 19:41
cho x\(\ge\)0,y\(\ge\)0,z\(\ge\)0
chứng minh rằng:(x+y)(y+z)(x+z)\(\ge\)8xyz
x+y>=2 căn xy
y+z>=2 căn yz
x+z>=2 căn xz
=>(x+y)(y+z)(x+z)>=8xyz
Đúng 0
Bình luận (0)
cho x,y,z \(\ge\)0 và x+y+z=1 tìm max
\(S=x^4y+y^4z+z^4x\)
Cho \(x\ge y\ge z>0\)
CMR : \(\dfrac{x^2y}{z}+\dfrac{y^2z}{x}+\dfrac{z^2x}{y}\ge x^2+y^2+z^2\)