Từ x+y+z=1 => 1-x = y+z

Áp dụng BĐT \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\), ta có :  \(4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)=4\left(y+z\right)\left(1-z\right)\left(1-y\right)\le\left[\left(y+z\right)+\left(1-z\right)\right]^2.\left(1-y\right)\)

\(\Rightarrow4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le\left(1+y\right)^2\left(1-y\right)=\left(1+y\right)\left(1-y^2\right)\le1+y\)

\(\Rightarrow1+y=x+2y+z\ge4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)(ĐPCM)

Đề bài sai:

Ví dụ: \(x=y=1\Rightarrow x^2+y^2>x^2y^2\) thỏa mãn điều kiện

Nhưng \(x^2+y^2=2< 4\)

Ta có: x + y = a + b

<=> (x + y)² = (a + b)²

<=> x² + 2xy + y² = a² + 2ab + b²

<=> 2xy = 2ab (vì x² + y² = a² + b²)

<=> xy = ab <=> x²y² = a²b²

Lại có: x⁴ + y⁴ = (x² + y²)² - 2x²y²

  a⁴   + b⁴ = (a² + b²)² - 2a²b²

Mà x²y² = a²b² (cm) ; x² + y² = a² + b²

=> x⁴ + y⁴ = a⁴ + b⁴

f: x+y+z=3

=>x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)=9

=>2(xy+yz+xz)=6

=>xy+yz+xz=3

mà x+y+z=3

nên x=y=z=1

e: x^2+y^2+2=2(x+y)

=>(x+y)^2-2xy+2-2(x+y)=0

=>(x+y)(x+y-2)-2(xy-1)=0

=>x=y=1

+)Ta có : x⁴ + y⁴ < x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴

Mà x > y > 1 ⟹ x - y > 0 

⟹ ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) < ( x - y ) ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) ( * )

+)Ta có : ( x - y ) ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) 

            = x ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) - y ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) 

            = x⁵ + x⁴y + x³y² + x²y³ + xy⁴ - x⁴y -  x³y² - x²y³ -  xy⁴ - y⁵

            = x⁵ - y⁵

⟹ ( x - y ) ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) = x⁵ - y⁵ ( ** )

Từ ( * ) ; ( ** ) 

⟹  ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) <  x⁵ - y⁵

Mà   x⁵ - y⁵ < x⁵ + y⁵ 

⟹ ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) <  x⁵ - y⁵

⟹ ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) < x - y 

⟹  x⁴ + y⁴ < 1 ( đpcm )