Đơn giản là em đang xem một lời giải sai. Việc khẳng định $P\leq 0$ hoặc $P>0$ rồi kết luận hàm số không có GTLN là sai.

Bởi vậy những câu hỏi ở dưới là vô nghĩa.

Việc gọi $P$ là hàm số lên lớp cao hơn em sẽ được học, còn bây giờ chỉ cần gọi đơn giản là phân thức/ biểu thức.

Hàm số, có dạng $y=f(x)$ biểu diễn mối liên hệ giữa biến $x$ với biến phụ thuộc $y$. Mỗi giá trị của $x$ ta luôn xác định được một giá trị tương ứng của $y$.

$P=AB=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=1+\frac{1}{\sqrt{x}-1}$

Để $P_{\max}$ thì $\frac{1}{\sqrt{x}-1}$ max

Điều này xảy ra khi $\sqrt{x}-1$ min và có giá trị dương 

$\Leftrightarrow x>1$ và $x$ nhỏ nhất

Trong tập số thực thì em không thể tìm được số lớn hơn 1 mà nhỏ nhất được. Như kiểu $1,00000000000000000000....$ (vô hạn đến không biết khi nào thì kết thúc)

Do đó $P$ không có max

Min cũng tương tự, $P$ không có min.

Ta thấy : \(\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(x+1\right)^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+1}-\left(x+1\right)^2\le\frac{1}{x^2+1}\forall x\) ( đpcm )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=0\Leftrightarrow x=-1\)

Bài 2:

a: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{0;-1\right\}\)

\(\dfrac{1+x}{x+1}-\dfrac{x-1}{x^2+x}\)

\(=\dfrac{x\left(x+1\right)-x+1}{x\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+x-x+1}{x^2+x}=\dfrac{x^2+1}{x^2+x}\)

b: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{-23;1\right\}\)

\(\dfrac{2x}{x+23}\cdot\dfrac{3x}{x-1}+\dfrac{2x}{x+23}\cdot\dfrac{23-2x}{x-1}\)

\(=\dfrac{2x}{x+23}\cdot\left(\dfrac{3x}{x-1}+\dfrac{23-2x}{x-1}\right)\)

\(=\dfrac{2x}{x+23}\cdot\dfrac{3x+23-2x}{x-1}\)

\(=\dfrac{2x}{x+23}\cdot\dfrac{x+23}{x-1}=\dfrac{2x}{x-1}\)

Bài 3:

a: Sửa đề: AMCN

Ta có: ABCD là hình bình hành

=>BC=AD(1)

Ta có: M là trung điểm của BC

=>\(BM=MC=\dfrac{BC}{2}\left(2\right)\)

Ta có: N là trung điểm của AD

=>\(NA=ND=\dfrac{AD}{2}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra BM=MC=NA=ND

Xét tứ giác AMCN có

MC//AN

MC=AN

Do đó: AMCN là hình bình hành

b: Xét tứ giác ABMN có

BM//AN

BM=AN

Do đó: ABMN là hình bình hành

Hình bình hành ABMN có \(AB=BM\left(=\dfrac{BC}{2}\right)\)

nên ABMN là hình thoi

c: Ta có: BM//AD

=>\(\widehat{EBM}=\widehat{EAD}\)(hai góc đồng vị)

=>\(\widehat{EBM}=60^0\)

Xét ΔBEM có BE=BM(=BA) và \(\widehat{EBM}=60^0\)

nên ΔBEM đều

=>\(\widehat{BEM}=60^0\)

Xét hình thang ANME có \(\widehat{MEA}=\widehat{EAN}=60^0\)

nên ANME là hình thang cân

=>AM=NE

-2x + x = (-2 + 1)x = -x em nhé

Không phải 2x + x = x nhé

`a, x = 0 <=> (0^2-1)/(2.0+1) = -1/1 = -1`

`b,` Biểu thức không xác định vì mẫu `= 0`

\(\left(x-1\right)\left(x+1\right)=x^2+x-x-1=x^2-1\)

\(\Rightarrow x\left(x+1\right)\left(x-1\right)=x\left(x^2-1\right)\)(ĐPCM)

SORRY VỲ GIẢI BẠN CHƯA HIỂU BÀI TRƯỚC

Thay a(x)=4, x=1 vào ta có:

\(a\left(x\right)=ax^4-3x^3-2ax^2+x+1\\ \Rightarrow4=a.1^4-3.1^3-2a.1^2+1+1\\ \Rightarrow a-3-2a+1+1-4=0\\ \Rightarrow-a-5=0\\ \Rightarrow a=-5\)

\(C\left(1\right)=2\cdot1^2-2=0\)

=>x=1 là nghiệm

\(C\left(-1\right)=2\cdot\left(-1\right)^2-2=0\)

=>x=-1 là nghiệm

`C(1) = 2 . 1^2  - 2 = 0 => 1` là nghiệm.

`C(-1) = 2. (-1)^2 - 2 = 0 => -1` là nghiệm

`=>` Đa thức có nghiệm là `+-1`.