Bài 1 : 

Gọi 3 số chẵn liên tiếp là \(2a-2,2a,2a+2\)

Tích 3 số \(\left(2a-2\right)2a\left(2a+2\right)=8.\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)

Vì \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮3\)\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮6\)

nên \(\left(2a-2\right).2a.\left(2a+2\right)\)

Vậy \(\left(2a-2\right).2a.\left(2a+2\right)\)

Bài 2 

a) \(\left(5^n-1\right)⋮4\)

Nếu \(n=1\)thì \(5^n-1=4⋮4\)

Nếu \(n>1\)thì \(5^n\)có hai chữ số tận cùng là \(25\Rightarrow5^n-1\)có hai chữ số tận cùng là \(24\),chia hết cho  \(4\)

Vậy \(\left(5^n-1\right)⋮4\)

b) \(\left(10^n+18n-1\right)⋮27\)

Ta có :\(10^n-1=99.....9\)(n chữ số 9)

\(\Rightarrow10^n+18n^{ }-1=99...9+18n=9.\left(11....1+2n\right)\)(n chữ số 1 )

Ta có \(\left(11....1+2n\right)⋮3\)( Vì \(11...1+2n\)có tổng các chữ số bằng \(3n⋮3\)

\(\Rightarrow\left(10^n+18n-1\right)⋮9.3\)hay \(\left(10^n+18n-1\right)⋮27\)

Chúc bạn học tốt ( -_- )

\(10^n\)+18n -1=10..00(có n chữ số 0) -1+18n

                    =99...9(có n chữ số 9)-9n+27n

                    =9x(11...1(có n chữ số 1)-n)+27n

Ta thấy số 111...1 có n chữ số 1. Vậy tổng các chữ số của nó là n

Vậy 111...1(có n chữ số 1) và n chia 3 có cùng số dư

Vậy 111..1(có n chữ số 1)-n chia hết cho 3

Suy ra: 9x(11...1(có n chữ số 1)-n) chia hết cho 27, 27n chia hết cho 27

Suy ra A chia hết cho 27(đpcm)

A = 10ⁿ + 18n - 1
B1: Xét n = 1
=> A = 10 + 18 -1 = 27 ⋮ 27
Vậy với n = 1, mệnh đề đúng.
B2: Giả sử với n = k, mệnh đề đúng, tức là: 10^k + 18k - 1 ⋮ 27
B3: Ta phải chứng minh với n = k + 1, mệnh đề cũng đúng. Tức là: 10^k+1 + 18(k+1) - 1 ⋮ 27.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp:
10^k+1 + 18k + 18 - 1 = 10^k.10 + 18k.10 - 10 + 27 - 9.18k = 10.(10^k + 18k - 1) + (27 - 6.27k)
Có: 10.(10^k + 18k - 1) ⋮ 27
(27 - 6.27k) ⋮ 27
=> 10^k+1 + 18(k+1) - 1 ⋮ 27.
=> Điều phải chứng minh

B  = (10ⁿ - 1) + 18n = 999...9 + 18n ( Có n chữ số 9)

= 9.11.....1 - 9n + 27n  ( có n chữ số 1)

= 9.(111....1 - n) + 27n   ( có n chữ số 1)

Vì số 111...1 có tổng các chữ số bằng n => 111....1 và n có cùng số dư khi chia cho 3

=> 111...1 - n chia hết cho 3 => 9.(111...1 - n) chia hết cho 9.3 = 27

Mà 27n chia hết cho 27

=> B chia hết cho 27

VD: n=1

B=10+18-1

=29

ko chia hết cho 81

Giải:

a) \(A=\dfrac{10^{1990}+1}{10^{1991}+1}\) và \(B=\dfrac{10^{1991}+1}{10^{1992}+1}\) 

Ta có:

\(A=\dfrac{10^{1990}+1}{10^{1991}+1}\) 

\(10A=\dfrac{10^{1991}+10}{10^{1991}+1}\) 

\(10A=\dfrac{10^{1991}+1+9}{10^{1991}+1}\) 

\(10A=1+\dfrac{9}{10^{1991}+1}\) 

Tương tự : 

\(B=\dfrac{10^{1991}+1}{10^{1992}+1}\) 

\(10B=\dfrac{10^{1992}+10}{10^{1992}+1}\) 

\(10B=\dfrac{10^{1992}+1+9}{10^{1992}+1}\) 

\(10B=1+\dfrac{9}{10^{1992}+1}\) 

Vì \(\dfrac{9}{10^{1991}+1}>\dfrac{9}{10^{1992}+1}\) nên \(10A>10B\) 

\(\Rightarrow A>B\left(đpcm\right)\) 

Chúc bạn học tốt!

Lời giải:
Xét:

$M=1+10+....+10^n$

$10M=10+10^2+....+10^{n+1}$
$10M-M=10^{n+1}-1$

$M=\frac{10^{n+1}-1}{9}$

$A=M.(10^{n+1}+5)+1=\frac{(10^{n+1}-1)(10^{n+1}+5)}{9}+1$

$=\frac{10^{2n+2}+4.10^{n+1}-5+9}{9}$

$=\frac{10^{2n+2}+4.10^{n+1}+4}{9}$

$=\frac{(10^{n+1}+2)^2}{9}$

$=\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2$
Ta thấy: $10^{n+1}+2\equiv 1^{n+1}+2=3\equiv 0\pmod 3$

Do đó: $\frac{10^{n+1}+2}{3}\in\mathbb{N}$

Suy ra $A$ là scp.

Lời giải:

Đặt cả biểu thức to là $P$

Với mọi số tự nhiên $n$, áp dụng định lý Fermat nhỏ:

\(n^7\equiv n\pmod 7\) \(\Leftrightarrow n^7-n\vdots 7(1)\)

\(n^7-n=n(n^6-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)\) có $n(n-1)(n+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên $n(n-1)(n+1)\vdots 6$

\(\Rightarrow n^7-n\vdots 6(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow n^7-n\vdots 42\) hay \(n^7\equiv n\pmod {42}\) (do 6 và 7 nguyên tố cùng nhau)

Áp dụng tính chất trên vào bài toán:

\([(27n+5)^7+10]^7\equiv (27n+5)^7+10\equiv 27n+5+10\pmod {42}(*)\)

\([(10n+27)^7+5]^7\equiv (10n+27)^7+5\equiv 10n+27+5\pmod {42}(**)\)

\([(5n+10)^7+27]^7\equiv (5n+10)^7+27\equiv 5n+10+27\pmod {42}(***)\)

Cộng theo vế:
\(\Rightarrow P\equiv 27n+5+10+10n+27+5+5n+10+27\)

\(\equiv 42n+84\equiv 0\pmod {42}\)

Hay $P\vdots 42$

Ta có đpcm.

Bạn thi chuyên KHTN à?

đề chuyên khtn này

Ta có:\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Do 5n(n-1)(n+1) có dạng 5k. Do đó chia hết cho 5.

Lại có: n ; n-1 ; n+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích chúng sẽ tồn tại thưa số chia hết cho 3, chia hết cho 2.

Do đó5n(n-1)(n+1) \(⋮30\)

Mặt khác: n(n-1)(n+1)(n-2(n+2) là tích 5 số tự nhiên liên tiêp, do đó tích của chúng có tồn tại 1 thừa số chi hết cho, 5, một thwuaf số chia hết cho 3, một thưa só chia hét cho 2.

Do đó n5-n chia hết cho 30

\(A=n^4-10n^2+9=n^4-n^2-9n^2+9=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

Đặt n = 2k+1 Thay vào A có: \(2k\left(2k+2\right)\left(2k-2\right)\left(2k+4\right)=16k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

=> \(A⋮16\)

Lại có k;k-1;k=1;k=2 là 3 số nguyên liên tiếp do đó tích chung số chia hét cho 2,3,4(3 số nguyên tố cùng nhau). Nên A chia hết 24

=> A\(A⋮384\)