Lời giải:
Đặt cả biểu thức to là $P$
Với mọi số tự nhiên $n$, áp dụng định lý Fermat nhỏ:
\(n^7\equiv n\pmod 7\) \(\Leftrightarrow n^7-n\vdots 7(1)\)
\(n^7-n=n(n^6-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)\) có $n(n-1)(n+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên $n(n-1)(n+1)\vdots 6$
\(\Rightarrow n^7-n\vdots 6(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow n^7-n\vdots 42\) hay \(n^7\equiv n\pmod {42}\) (do 6 và 7 nguyên tố cùng nhau)
Áp dụng tính chất trên vào bài toán:
\([(27n+5)^7+10]^7\equiv (27n+5)^7+10\equiv 27n+5+10\pmod {42}(*)\)
\([(10n+27)^7+5]^7\equiv (10n+27)^7+5\equiv 10n+27+5\pmod {42}(**)\)
\([(5n+10)^7+27]^7\equiv (5n+10)^7+27\equiv 5n+10+27\pmod {42}(***)\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow P\equiv 27n+5+10+10n+27+5+5n+10+27\)
\(\equiv 42n+84\equiv 0\pmod {42}\)
Hay $P\vdots 42$
Ta có đpcm.
