ở đâu zậy

\(B=\frac{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}{x}=\frac{x^2+x\left(a+b\right)+ab}{x}=x+\frac{ab}{x}+\left(a+b\right)\)

Áp dụng bđt Cauchy : \(x+\frac{ab}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{ab}{x}}=2\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow B\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=\frac{ab}{x}\Rightarrow................\)

Vậy ......................

Bài tìm MAX tồn tại hai giá trị , do k có điều kiện ràng buộc biến x

a) Đặt $\sqrt{x+1}=a; \sqrt{9-x}=b$ thì bài toán trở thành:

Tìm max, min của $f(a,b)=a+b$ với $a,b\geq 0$ và $a^2+b^2=10$Ta có:

$f^2(a,b)=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=10+2ab\geq 10$ do $ab\geq 0$

$\Rightarrow f(a,b)\geq \sqrt{10}$ hay $f_{\min}=\sqrt{10}$

Mặt khác: $f^2(a,b)=(a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)=20$ (theo BĐT AM-GM)

$\Rightarrow f(a,b)\leq \sqrt{20}=2\sqrt{5}$ hay $f_{\max}=2\sqrt{5}$

b) 

Đặt $\sqrt{x}=a; \sqrt{2-x}=b$ thì bài toán trở thành:

Tìm max, min của $f(a,b)=a+b+ab$ với $a,b\geq 0$ và $a^2+b^2=2$. Ta có:

$f(a,b)=\sqrt{(a+b)^2}+ab=\sqrt{a^2+b^2+2ab}+ab=\sqrt{2+2ab}+ab\geq \sqrt{2}$ do $ab\geq 0$

Vậy $f_{\min}=\sqrt{2}$

Lại có, theo BĐT AM-GM:

$f(a,b)=\sqrt{2+2ab}+ab\leq \sqrt{2+a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{2}=\sqrt{2+2}+\frac{2}{2}=3$

Vậy $f_{\max}=3$

c) Đặt $\sqrt{8-x^2}=a$ thì bài toán trở thành tìm max, min của:

$f(x,a)=x+a+ax$ với $x,a\geq 0$ và $x^2+a^2=8$. Bài này chuyển về y hệt  như phần b. 

$f_{\min}=2\sqrt{2}$

$f_{\max}=8$

d) Tương tự:

$f_{\min}=2$ khi $x=\pm 2$

$f_{\max}=2+2\sqrt{2}$ khi $x=0$

1. ĐKXĐ: \(x>\frac{7}{5}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{5x-7}=a>0\\\sqrt{x-1}=b>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)^2-\frac{1}{a}=\left(b^2+1\right)^2-\frac{1}{b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+1\right)^2-\left(b^2+1\right)^2+\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+2\right)\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\frac{a-b}{ab}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[\left(a^2+b^2+2\right)\left(a+b\right)+\frac{1}{ab}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\)

\(\Leftrightarrow5x-7=x-1\)

\(\Leftrightarrow x=?\)

2.

ĐKXĐ: \(x\ge-\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow8x^3+2x-\left(2x+2\right)\sqrt{2x+1}=0\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}2x=a\\\sqrt{2x+1}=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^3+a-\left(b^2+1\right)b=0\)

\(\Leftrightarrow a^3-b^3+a-b=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\)

\(\Leftrightarrow2x=\sqrt{2x+1}\) (\(x\ge0\))

\(\Leftrightarrow4x^2=2x+1\)

\(\Leftrightarrow x=?\)

3.

ĐKXĐ: \(x\ge-1;x\ne13\)

\(\left(x+2\right)\left(\sqrt{x+1}-2\right)=\sqrt[3]{2x+1}-3\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\sqrt{x+1}-2x-4=\sqrt[3]{2x+1}-3\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\sqrt{x+1}+x+1-\left(2x+1\right)-\sqrt[3]{2x+1}=0\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=a\\\sqrt[3]{2x+1}=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^3+a-b^3-b=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}=\sqrt[3]{2x+1}\) (\(x\ge-\frac{1}{2}\))

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3=\left(2x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x=?\)

\(\sqrt{\left(2x+1\right)\left(x+2\right)}\)

\(S=-\frac{1}{2}\left(3x+3-2\sqrt{2x^2+5x+2}+x+7-4\sqrt{x+3}\right)+5\)

\(=-\frac{1}{2}\left[\frac{\left(x-1\right)^2}{3x+3+2\sqrt{2x^2+5x+2}}+\frac{\left(x-1\right)^2}{x+7+4\sqrt{x+3}}\right]+5\le5\)

\(S_{max}=5\) khi \(x=1\)