*Nếu a\(⋮\)49 hoặc b\(⋮\)49 => dpcm (*)

* Ta xét Nếu a\(⋮̸\)49 hoặc b\(⋮̸\)49

+ Nếu \(3a+b⋮7\Rightarrow\left(3a+b\right)^2⋮49.\Leftrightarrow A=9a^2+6ab+b^2⋮49\)

B=\(5a^2+15ab-b^2\)

A + B =14a² +21ab = 7a(2a+3b) = 7a(9a+3b-7a) =7.3(3a+b) - 49a².\(⋮\)49 vì 3a+b \(⋮\)7.

A\(⋮\)49 và A+B\(⋮\)49 => B=\(5a^2+15ab-b^2\)\(⋮\)49 (1)

+Nếu B= \(5a^2+15ab-b^2\)\(⋮\)49 => 45a² +15ab+(9a²-b²)-49a²\(⋮\)49

=> 15a(3a+b)+(3a+b)(3a-b)-49a²\(⋮\)49

=>(3a+b)18a-49a² \(⋮\)49 => 3a+b\(⋮\)49 hay 3a+b \(⋮\)7 (2)

(*)(1)(2) => dpcm.

1b/

Áp dụng BĐT Cô-si :
\(\sqrt{\frac{b+c}{a}}\le\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}=\frac{\frac{a+b+c}{a}}{2}=\frac{a+b+c}{2a}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)

Chứng minh tương tự:

\(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\); \(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)

Cộng theo vế ta được :

\(VT\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Dấu "=" không xảy ra nên \(VT>2\).

2a/ Chắc là tính GT của \(x+y\).

\(\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-x^2-2013\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)\)

\(\Leftrightarrow-2013\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)\)

\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+2013}=\sqrt{x^2+2013}-x\)

Do vai trò \(x,y\) là như nhau nên thiết lập tương tự ta có :

\(x+\sqrt{x^2+2013}=\sqrt{y^2+2013}-y\)

Cộng theo vế 2 pt ta được :

\(x+y+\sqrt{x^2+2013}+\sqrt{y^2+2013}=\sqrt{x^2+2013}+\sqrt{y^2+2013}-x-y\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=0\)

Vậy....

2b/

Đặt \(A=5a^2+15ab-b^2\) và \(B=3a+b\)

Ta có \(B^2=\left(3a+b\right)^2=9a^2+6ab+b^2\)

Lấy \(A+B^2=5a^2+15a-b^2+9a^2+6ab+b^2\)

\(A+B^2=14a^2+21ab\)

\(A+B^2=7\left(2a+3ab\right)⋮7\)

Mà \(A⋮7\) ( vì \(A⋮49\) ) nên \(B^2⋮7\)

Vì 7 nguyên tố nên \(B⋮7\) ( đpcm )

Nếu \(5a^2+15ab-b^2⋮49\)

\(\Rightarrow5a^2+15ab-b^2⋮7\left(1\right)\)

Mặt khác lại có:

\(\left(5a^2+15ab-b^2\right)+\left(3a+b\right)^2\)

\(=7a\cdot\left(2a+3b\right)⋮7\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\left(3a+b\right)^2⋮7\Rightarrow3a+b⋮7\)

Nếu \(3a+b⋮7\) ta có:

\(\left(3a+b\right)+2\cdot\left(2a+3b\right)=7\cdot\left(a+b\right)⋮7\)

\(\Rightarrow2\cdot\left(2a+3b\right)⋮7\Rightarrow2a+3b⋮7\)

\(\Rightarrow\left(5a^2+15ab-b^2\right)+\left(3a+b\right)^2\)

\(=7a\cdot\left(2a+3b\right)⋮49\left(3\right)\)

Vì \(3a+b⋮7\) nên \(\left(3a+b\right)^2⋮49\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra:

\(5a^2+15ab-b^2⋮49\)

\(\Leftrightarrow3a+b⋮7\)

đầu bài đúng ko đó bn

mk thấy sao sao

bn xem lại hộ mk

đề sai, phải là 15ab nha bạn