1:

a: \(A=\dfrac{\sqrt{x}+1-2}{\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\)

căn x+1>=1

=>2/căn x+1<=2

=>-2/căn x+1>=-2

=>A>=-2+1=-1

Dấu = xảy ra khi x=0

b: 

Ta có: \(\dfrac{4\sqrt{x}}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{4\sqrt{x}}{3\left[\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]}\) 

Lại có: \(4\sqrt{x}\ge0\) với mọi x

\(3\left[\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]>0\) với mọi x

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{4\sqrt{x}}{3\left[\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]}\ge0\) với mọi x

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) x = 0

Vậy ...

Chúc bn học tốt! (Mk ms nghĩ ra được GTNN thôi thông cảm!)

Còn tìm GTLN:

Ta có: \(\dfrac{4\sqrt{x}}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{4\sqrt{x}}{3\left[\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\sqrt{x}\right]}\le\dfrac{4\sqrt{x}}{3\sqrt{x}}=\dfrac{4}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x}-1=0\) \(\Leftrightarrow\) x = 1

Vậy ...

Chúc bn học tốt!

\(a,\dfrac{x^2+x+2}{\sqrt{x^2+x+1}}=\dfrac{x^2+x+1+1}{\sqrt{x^2+x+1}}=\sqrt{x^2+x+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT cosi: \(\left(1\right)\ge2\sqrt{\sqrt{x^2+x+1}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}}=2\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x^2+x+1=1\Leftrightarrow x^2+x=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)

a: Khi x=4 thì \(A=\left(\dfrac{2+2}{2+1}-\dfrac{2\cdot2-2}{2-1}\right)\cdot\left(4-1\right)=\dfrac{1}{3}\cdot3=1\)

b: \(A=\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}-2\right)\cdot\left(x-1\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+2-2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\cdot\left(x-1\right)=-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\)

Tất cả 3 bài này đều chung một dạng, bậc tử lớn hơn bậc mẫu nên đều không tồn tại GTLN mà chỉ tồn tại GTNN. Cách tìm thường là chia tử cho mẫu rồi khéo léo thêm bớt để sử dụng BĐT Cô-si

a) \(P=\dfrac{x+4}{4\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}}{4}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\dfrac{\sqrt{x}}{4}\dfrac{1}{\sqrt{x}}}=2.\dfrac{1}{2}=1\)

\(\Rightarrow P_{min}=1\) khi \(\dfrac{\sqrt{x}}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow x=4\)

b) \(P=\dfrac{x+3}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}+\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{2}+\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}-1\)

\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)}{2}\dfrac{2}{\left(\sqrt{x}+1\right)}}-1=2-1=1\)

\(\Rightarrow P_{min}=1\) khi \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{2}=\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\Leftrightarrow x=1\)

c)ĐKXĐ: \(x\ge0\Rightarrow\) \(P=\dfrac{x-4}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1-\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\)

\(P_{min}\) khi \(\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\) đạt max \(\Rightarrow\sqrt{x}+1\) đạt min, mà \(\sqrt{x}+1\ge1\) \(\forall x\ge0\) , dấu "=" xảy ra khi \(x=0\)

\(\Rightarrow P_{min}=-4\) khi \(x=0\)

Câu 1:

Tìm max:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

\(y^2=(3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x})^2\leq (3^2+4^2)(x-1+5-x)\)

\(\Rightarrow y^2\leq 100\Rightarrow y\leq 10\)

Vậy \(y_{\max}=10\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(\frac{\sqrt{x-1}}{3}=\frac{\sqrt{5-x}}{4}\Leftrightarrow x=\frac{61}{25}\)

Tìm min:

Ta có bổ đề sau: Với $a,b\geq 0$ thì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}\)

Chứng minh:

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\geq a+b\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{ab}\geq 0\) (luôn đúng).

Dấu "=" xảy ra khi $ab=0$

--------------------

Áp dụng bổ đề trên vào bài toán ta có:

\(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\geq \sqrt{(x-1)+(5-x)}=2\)

\(\sqrt{5-x}\geq 0\)

\(\Rightarrow y=3(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x})+\sqrt{5-x}\geq 3.2+0=6\)

Vậy $y_{\min}=6$

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (x-1)(5-x)=0\\ 5-x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=5\)

Bài 2:

\(A=\sqrt{(x-1994)^2}+\sqrt{(x+1995)^2}=|x-1994|+|x+1995|\)

Áp dụng BĐT dạng \(|a|+|b|\geq |a+b|\) ta có:

\(A=|x-1994|+|x+1995|=|1994-x|+|x+1995|\geq |1994-x+x+1995|=3989\)

Vậy \(A_{\min}=3989\)

Đẳng thức xảy ra khi \((1994-x)(x+1995)\geq 0\Leftrightarrow -1995\leq x\leq 1994\)

Bài 3:

Ta thấy:

\(2x-x^2+7=8-(x^2-2x+1)=8-(x-1)^2\leq 8, \forall x\in\mathbb{R}\)

\(\Rightarrow 2+\sqrt{2x-x^2+7}\leq 2+\sqrt{8}=2+2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow B=\frac{3}{2+\sqrt{2x-x^2+7}}\geq \frac{3}{2+2\sqrt{2}}\)

Vậy GTNN của $B$ là \(\frac{3}{2+2\sqrt{2}}\).

Đẳng thức xảy ra tại \((x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1\)

a: \(B=\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}:\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}:\dfrac{x+1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)
b: B=2/7

=>\(\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}=\dfrac{2}{7}\)

=>\(2\left(x+\sqrt{x}+1\right)=7\sqrt{x}\)

=>\(2x+2\sqrt{x}-7\sqrt{x}+2=0\)

=>\(2x-5\sqrt{x}+2=0\)

=>\(\left(2\sqrt{x}-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}-2\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}2\sqrt{x}-1=0\\\sqrt{x}-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{4}\left(nhận\right)\\x=4\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)