\(x^3-x^2+2mx-2m=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-1\right)+2m\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+2m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2=-2m\end{matrix}\right.\)

Để pt có 3 nghiệm \(\Rightarrow-2m>0\Rightarrow m< 0\)

a. Do vai trò 3 nghiệm như nhau, ko mất tính tổng quát giả sử \(x_1=1\) và \(x_2;x_3\) là nghiệm của \(x^2+2m=0\) 

Để pt có 3 nghiệm pb \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2m>0\\-2m\ne1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\m\ne-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Khi đó: \(x_2+x_3=0\Rightarrow x_1+x_2+x_3=1\ne10\) với mọi m

\(\Rightarrow\) Không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu

b.

Giả sử pt có 3 nghiệm, khi đó \(\left[{}\begin{matrix}x_2=-\sqrt{-2m}< 0< 1\\x_3=\sqrt{-2m}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Luôn có 1 nghiệm của pt âm \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn

Em coi lại đề bài

1, ĐKXĐ:\(x\ne2,y\ne1\)

Đặt `1/(x-2)` = a, `1/(y-1)` = b

\(Hệ.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\2a-3b=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{7}{5}\\b=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{7}{5}\\\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x-14=5\\3y-3=5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{19}{7}\\y=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)\(2,\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4m=m^2+2m+1-4m=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\ge0\)

Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta'>0\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2>0\Leftrightarrow m-1\ne0\Leftrightarrow m\ne1\)

b, Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=4m\end{matrix}\right.\)

\(\left(x_1-x_2\right)^2-x_1x_2=3\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2=3\\ \Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2-5.4m-3=0\\ \Leftrightarrow4m^2+8m+4-20m-3=0\\ \Leftrightarrow4m^2-12m+1=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{2}\\x=\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)

a, Với m=1 thay vào pt 

Ta có

\(x^2+x-1=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\\x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

b, 

Thay x=2 vào pt

ta có

\(4-2-3m+2=0\)

\(\Leftrightarrow4-3m=0\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{4}{3}\)

c, Ta có

\(\Delta=1-4\left(-3m+2\right)\)

\(=12m-7\)

Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)

\(\Rightarrow12m-7>0\)

\(\Rightarrow m>\dfrac{7}{12}\)

d, 

Để ptcos nghiệm kép thì \(\Delta=0\)

\(\Rightarrow12m-7=0\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{7}{12}\)

e, 

Để pt vô nghiệm thì \(\Delta< 0\)

\(\Rightarrow m< \dfrac{7}{12}\)

\(x^2-\left(m+4\right)x+4m=0\) (1)

a)Thay x=2 vào pt (1) ta được: \(4-\left(m+4\right).2+4m=0\) \(\Leftrightarrow m=2\)

Thay m=2 vào pt (1) ta được: \(x^2-6x+8=0\)\(\Leftrightarrow x^2-4x-2x+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x-2\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=4\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm còn lại là 4

b)Để pt có hai nghiệm pb \(\Leftrightarrow\Delta>0\Leftrightarrow m^2-8m+16>0\)\(\Leftrightarrow\left(m-4\right)^2>0\)\(\Leftrightarrow m\ne4\)

Do x₁ là một nghiệm của pt \(\Rightarrow x_1^2-\left(m+4\right)x_1+4m=0\)

​\(\Rightarrow x_1^2=\left(m+4\right)x_1-4m=0\)​

Theo viet có: \(x_1+x_2=m+4\)

\(x_1^2+\left(m+4\right)x_2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(m+4\right)x_1-4m+\left(m+4\right)x_2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(m+4\right)\left(x_1+x_2\right)-4m-16=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+4\right)^2-4m-16=0\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-4\end{matrix}\right.\)(Thỏa)

Vậy...

Δ=(2m+2)^2-4*4m

=4m^2+8m+4-16m

=4m^2-8m+4=(2m-2)^2

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 2m-2<>0

=>m<>1

x1+x2>2 và x1x2>1

=>2m+2>2 và 4m>1

=>m>1/4