3.

\(y'=\dfrac{3m-1}{\left(x+3m\right)^2}\)

Hàm nghịch biến trên khoảng đã cho khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}3m-1< 0\\-3m\le6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{1}{3}\\m\ge-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-2\le m< \dfrac{1}{3}\Rightarrow m=\left\{-2;-1;0\right\}\)

4.

\(y'=\dfrac{3m-2}{\left(x+3m\right)^2}\)

Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}3m-2>0\\-3m\ge-6\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>\dfrac{2}{3}\\m\le2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{3}< m\le2\Rightarrow m=\left\{1;2\right\}\)

Đáp án B.

Phương pháp: 

Hàm số y = f x  nghịch biến trên khoảng a ; b ⇔ f ' x ≤ 0 , ∀ x ∈ a ; b ,  bằng 0 tại hữu hạn điểm trên a ; b .  

Cách giải:

y = x 3 − 3 m + 2 x 2 + 3 m 2 + 4 m x + 1 ⇒ y ' = 3 x 2 − 6 m + 2 x + 3 m 2 + 4 m  

Hàm số

y = x 3 − 3 m + 2 x + 3 m 2 + 4 m x + 1

nghịch biến trên khoảng 0 ; 1 ⇔ f ' x ≤ 0 ,   ∀ x ∈ 0 ; 1 ,  bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0; 1).

⇔ 3 x 2 − 6 m + 2 x + 3 m 2 + 4 m ≤ 0 ,    ∀ x ∈ 0 ; 1 ,

bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0;1).

Xét phương trình

⇔ 3 x 2 − 6 m + 2 x + 3 m 2 + 4 m = 0    *

  Δ ' = 9 m + 2 2 − 3.3 m 2 + 4 m = 36 > 0 ,    ∀ m ⇒

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt  x 1 , x 2

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) thì x 1 ≤ 0 < 1 ≤ x 2  

⇔ x 1 x 2 ≤ 0 1 − x 1 1 − x 2 ≤ 0 ⇔ x 1 x 2 ≤ 0 1 + x 1 x 2 − x 1 + x 2 ≤ 0 ⇔ m 2 + 4 m ≤ 0 1 + m 2 + 4 m − 2 m − 4 ≤ 0  

⇔ − 4 ≤ m ≤ 0 − 3 ≤ m ≤ 1 ⇔ − 3 ≤ m ≤ 0

Mà m ∈ Z ⇒ m ∈ − 3 ; − 2 ; − 1 ; 0 ⇒

Có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn. 

Khi đó y' là hàm số bậc ba. Phương trình y'=0 có ít nhất một nghiệm đơn hoặc bội lẻ và đổi dấu  qua nghiệm đó. Do đó mệnh đề (*) sai.  Suy ra loại  m 2   -   3 m     +   2   ≠ 0

Chọn A

\(y'=\dfrac{x-m-x+1}{\left(x-m\right)^2}=\dfrac{1-m}{\left(x-m\right)^2}\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;2\right)\Leftrightarrow y'< 0\forall x\in\left(-\infty;2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-m< 0\\x\ne m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\m\ge2\end{matrix}\right.\Rightarrow m\ge2\)

Có 19-2+1=18 giá trị nguyên của m thỏa mãn

Chọn B

Phương pháp: Sử dụng đạo hàm của hàm hợp để tính đạo hàm.