Cho các số thực x, y, z thỏa mãn:xy/(x+y)=yz/(y+z)=xz/(x+z).Tính M=(x^2+y^2+z^2)/(xy+yz+xz)
TN
Những câu hỏi liên quan
tính các số hữu tỉ x,y,z biết các số đó thỏa mãn điều kiện xy=1/3 ; yz=-2/5 và xz=-3/10
Với x, y, z là các số thực thỏa măn: x+y+z +xy +yz +xz = 6
Tìm GTNN cảu biểu thức:
\(P=\sqrt{4+x^4}+\sqrt{4+y^4}+\sqrt{4+z^4}\)
đầu tiên ta chứng minh với x,y,z,t bất kì thì:
\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+t^2}\ge\sqrt{\left(x+z\right)^2+\left(y+t\right)^2}\) (*)
thật vậy bđt (*) tương đương với:
\(x^2+y^2+z^2+t^2+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}\ge x^2+2xz+z^2+y^2+2yt+t^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}\ge xz+yt\)
bđt trên đúng vì theo bđt bunhia cốp xki
\(\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}\ge\sqrt{\left(xz+yt\right)^2}=|xz+yt|\ge xz+yt\)
Áp dụng (*) ta có:
\(P=\sqrt{4+x^4}+\sqrt{4+y^4}+\sqrt{4+z^4}\ge\sqrt{\left(2+2\right)^2+\left(x^2+y^2\right)^2}+\sqrt{4+z^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(2+2+2\right)^2+\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}=\sqrt{36+\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Ta có:
\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow3x^2+3y^2+3z^2+3\ge2x+2y+2z+2xy+2yz+2zx=2.6=12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\Rightarrow P\ge\sqrt{36+3}=3\sqrt{5}\)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn:xy+yz+3zx=1.Tìm GTNN P=\(x^2+y^2+z^2\)
Kiểu BĐT bất đối xứng kết quả cực xấu, mình nêu hướng chung, bạn tự giải, chứ kết quả toàn căn thức nhìn đã mất cảm tình rồi:
Ở ngoài nháp, phân tích như sau:
Dự đoán điểm rơi \(x=z\)
Ta thiết lập lần lượt các đánh giá:
\(a\left(x^2+z^2\right)\ge2axz\) ; \(x^2+b^2y^2\ge2bxy\); \(z^2+b^2y^2\ge2byz\) (1)
Cộng vế với vế:
\(\left(a+1\right)x^2+2b^2y^2+\left(a+1\right)z^2\ge2bxy+2byz+2axz\)
Để vế trái là \(k.P\) và vế phải là \(n\left(xy+yz+3xz\right)\) thì:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+1=2b^2\\\frac{a}{b}=\frac{3}{1}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow2b^2-3b-1=0\Rightarrow b=\frac{3+\sqrt{17}}{4}\Rightarrow a=\frac{9+3\sqrt{17}}{4}\)
Vậy là xong, thay lần lượt a; b vừa tìm được vào (1) và làm vào giấy:
\(\frac{9+3\sqrt{17}}{2}\left(x^2+z^2\right)\ge\left(9+3\sqrt{17}\right)xz\)
....
Tương tự và cộng lại sau đó chia vế phải cho \(a+1=...\) là xong
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn:xy+yz+zx=1.CMR:\(\frac{1}{1+xy+z^2}+\frac{1}{1+yz+x^2}+\frac{1}{1+zx+y^2}\)≤\(\frac{9}{5}\)
Cho x,y,z là các số khác 0 và x2=yz,y2=xz,z2=xy. Chứng minh x=y=z
Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=5 và xy+yz+zx=8. Tìm GTLN,GTNN của x,y,z
Cho các số x,y,z thỏa mãn : x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx và x^2018 +y^2018+z^2018=3. Tính giá trị của biểu thức P=x^28+y^57+z^2017
vs các số thực âm x,y,z tm \(x^2+y^2+z^2=2\)
a, cmr \(x+y+z\le2+xy\)
b , tìm min và max P=\(\frac{x}{2+yz}+\frac{y}{2+xz}+\frac{z}{2+xy}\)
Trong de thi hsg cap Thanh pho Ha Noi 2016-2017 co dap an do ban
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho các số dương x, y, z. CMR:
\(\frac{xy}{x^2+yz+xz}+\frac{yz}{y^2+xy+xz}+\frac{xz}{z^2+yz+xy}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+xz}\)
Bunhiacopxki: \(\left(x^2+yz+zx\right)\left(y^2+yz+zx\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{xy}{x^2+yz+zx}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Thiết lập tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow VT\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)+yz\left(z^2+xy+zx\right)+zx\left(x^2+yz+xy\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
\(VT\le\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Ta chỉ cần chứng minh: \(\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)
\(\Leftrightarrow xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le x^3y+y^3z+z^3x\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge x+y+z\) (đúng theo Cauchy-Schwarz)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Đúng 0
Bình luận (0)