=> 0,abc x (a+b+c) = 1

   1000 x 0.abc x (a+b+c) = 1000

    abc x (a + b + c) = 1000

Vì abc là số có 3 chữ số nên abc nhỏ nhất bằng 100

=> a+ b + c lớn nhất bằng : 1000 : 100 = 10. 

Mà 1000 chia hết cho (a+ b+ c) nên a + b + c = 1; 2;4;5;8 hoặc 10

+) nếu a+ b + c = 1 thì abc = 1000 (Loại)

+) Nếu a+ b + c = 2 thì abc = 1000 : 2 = 500 ( Loại vì: 5 + 0 + 0 = 5 > 2)

+) Nếu a+ b +c = 4 thì abc = 1000 : 4 = 250 (Loại vì 2 + 5 + 0 = 7 > 4)

+) Nếu a + b + c = 5 thì abc = 1000 : 5 = 200 (Loại )

+) Nếu a + b + c = 8 thì abc = 1000 : 8 = 125 (Thỏa mãn)

Vậy a = 1; b = 2; c = 5

A =1; b=2; c = 5 nha bạn

\(\Rightarrow\)\(\frac{a+b-x}{c}+\frac{b+c-x}{a}+\frac{c+a-x}{b}=1-\frac{4x}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a+b+c-x}{c}+\frac{b+c+a-x}{a}+\frac{c+a+b-x}{b}=4-\frac{4x}{a+b+c}\)(Vế trái cộng mỗi phân số với 1 thì vế phải +3)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c-x\right)\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)=4\left(a+b+c-x\right).\frac{1}{a+b+c}\)

+ Xét \(a+b+c-x=0\Rightarrow x=a+b+c\)

+ Xét \(a+b+c-x\)khác 0 \(\Rightarrow\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4\left(\frac{1}{a+b+c}\right)\)

Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}>4\left(\frac{1}{a+b+c}\right)\)(bất đẳng thức COSY đó bạn)

như vậy là phương trình vô nghiệm

Sai rồi nha bạn Nguyễn Thuỳ Trang.

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{4}{a+b+c}\) vẫn được mà.

Đề có cho \(a,b,c\) dương đầu mà dùng Cauchy như đúng rồi vậy! Cẩn thận một chút.

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\ \Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\\ \Rightarrow\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{b^{2013}}{d^{2013}}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\\ \Rightarrow\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{b^{2013}}{d^{2013}}=\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^{2013}\left(1\right)\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{b^{2013}}{d^{2013}}=\frac{a^{2013}+b^{2013}}{c^{2013}+d^{2013}}\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^{2013}=\frac{a^{2013}+b^{2013}}{c^{2013}+d^{2013}}\)

Có \(a^2+ab+\frac{b^2}{3}=c^2+\frac{b^2}{3}+a^2+ac+c^2\left(=25\right)\)

\(\Rightarrow a^2+ab+\frac{b^2}{3}=2c^2+\frac{b^2}{3}+a^2+ac\\ \Rightarrow ab=2c^2+ac\\ \Rightarrow ab+ac=2c^2+2ac\\ \Rightarrow a\left(b+c\right)=2c\left(a+c\right)\\ \Rightarrow\frac{2c}{a}=\frac{b+c}{a+c}\)

áp dụng tính chất dẫy tỉ số = nhau ta được 

b+c+d/a=c+d+a/b=a+b+d/c=a+b+c/d= b+c+d+c+d+a+a+b+d+a+b+c / a+b+c+d = 3 

do b+c+d/a=c+d+a/b=a+b+d/c=a+b+c/d = k 

suy ra k =3 .đơn giản vậy thôi

k = 3  có đúng ko bạn 

Ta có: \(\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}.\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}=\frac{b+c}{d+a}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}+1=\frac{b+c}{d+a}+1.\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}+\frac{c+d}{c+d}=\frac{b+c}{d+a}+\frac{d+a}{d+a}.\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{c+d}=\frac{b+c+d+a}{d+a}\)

Nếu \(a+b+c+d\ne0.\)

\(\Rightarrow c+d=d+a\)

\(\Rightarrow c=a\left(đpcm1\right).\)

Nếu \(a+b+c+d=0\) thì hợp với đề.

\(\Rightarrow a+b+c+d=0\left(đpcm2\right).\)

Chúc bạn học tốt!

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b+b+c+c+a}{c+a+b}=2\)

Vậy ta có: \(a+b=2c;b+c=2a;c+a=2b\)

Thay vào biểu thức ta có:

\(A=\frac{a}{2a}+\frac{2c}{c}\)

\(=2+2=4\)

Vậy \(A=4\)

Cái này mới đúng nè:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b+b+c+c+a}{c+a+b}=2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{a+b}{c}=2\\\frac{a}{b+c}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\)