Gọi (P) : y= \(ax^2+bx+c\)

Vì (P) đi qua gốc tọa độ

nên (P) cắt điểm A (0;0)

A(0;0) ∈ (P) ⇔ 0= c

Mà (P) có đỉnh I(-1;-3)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-b}{2a}=-1\\-3=a-b+c\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}-2a+b=0\\a-b=-3\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=6\end{matrix}\right.\)

Vậy a = 3 , b = 6 , c = 0

Parabol qua A(4;-3) và đỉnh I(1;5) ta có : 

-3 = 16a - 4b + c

5 = a - b + c

\(-\dfrac{\left(-b\right)}{2a}=1\Leftrightarrow b-2a=0\) 

Giải hệ trên ta có  : \(a=-\dfrac{8}{9};b=-\dfrac{16}{9};c=\dfrac{37}{9}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4ac-b^2}{4a}=1\\4a+2b+c=0\\4a-2b+c=-8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4ac-b^2=4a\\4a+2b+c=0\\4b=8\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\\4ac-4=4a\\4a+4+c=0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\\ac-1=a\\c=-4a-4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a\left(-4a-4\right)-1=a\)

\(\Rightarrow4a^2+5a+1=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-1\Rightarrow c=0\\a=-\dfrac{1}{4}\Rightarrow c=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy có 2 pt (P): \(\left[{}\begin{matrix}y=-x^2+2x\\y=-\dfrac{1}{4}x^2+2x-3\end{matrix}\right.\)

Tìm Parabol (P): y=ax²​+bx+c  đi qua điểm A(1;0) và có tung độ đỉnh bằng -1

Lời giải:

ĐK: $a\neq 0$

Gọi đỉnh của parabol là $I$.

Ta có:

Hoành độ đỉnh: $x_I=\frac{-b}{2a}$

Tung độ đỉnh: $y_I=ax_I^2+bx_I+1=1-\frac{b^2}{4a}=0$

$\Rightarrow b^2=4a(*)$

Mặt khác parabol đi qua điểm $N(1,4)$ nên:

$y_N=ax_N^2+bx_N+1$

$\Leftrightarrow 4=a+b+1(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow b^2=4(3-b)\Rightarrow b=2$ hoặc $b=-6$

Nếu $b=2\rightarrow a=1$. Parabol $y=x^2+2x+1$

Nếu $b=-6\rightarrow a=9$. Parabol $y=9x^2-6x+1$

(P) có đỉnh là I(-1;5) => \(-\frac{b}{2a}=-1\Rightarrow b=2a\)  (1)

và (P) đi qua I(-1; 5) => tại x = -1; y = 5 thì a - b + c = 5                                     (2)

(P) đi qua điểm A(1; 1) => tại x = 1; y = 1 thì a + b + c = 1(3)

thế (1) vào (2): -a + c = 5

thế (1) vào (3): 3a + c = 1 

giải hệ phtrinh ta được a = -1; c = 4

=> b = 2a = -2

giá trị biểu thức 3a + 2b + c = -3 - 4 + 4 = -3

cảm ơn bạn rất nhiều