Chứng minh bằng phương pháp phản chứng : 

Giả sử \(\sqrt{7}\)là một số hữu tỉ . Suy ra có thể biểu diễn dưới dạng \(\sqrt{7}=\frac{m}{n}\) (\(m,n\in Z,n\ne0\)) và \(\frac{m}{n}\)tối giản.

\(\Rightarrow7n^2=m^2\Rightarrow m^2⋮7\Rightarrow m⋮7\)(1)

Do đó, đặt m = 7k (\(k\in N\))

=> \(m^2=49k^2\Rightarrow n^2=7k^2\Rightarrow n^2⋮7\Rightarrow n⋮7\)(2)

Từ (1) và (2) Suy ra được m,n cùng chia hết cho 7

=> \(\frac{m}{n}\) chưa là phân số tối giản (vô lí vì trái với giả thiết)

Điều vô lí chứng tỏ \(\sqrt{7}\)là số vô tỉ.

Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ 

Ta có :

\(\sqrt{7}=\dfrac{a}{b}\) (a,b nguyên tố cũng nhau)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}=7\)

\(\Leftrightarrow a^2=7b^2\)

\(\Leftrightarrow a^2⋮7\) Mà 7 là số nguyên tố 

\(\Leftrightarrow a⋮7\) \(\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2⋮49\)

\(\Leftrightarrow7b^2⋮49\)

\(\Leftrightarrow b⋮7\) \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow a,b\) không ngto cùng nhau

\(\Leftrightarrow\) Giả sử sai

Vậy..

Giả sử căn 7 là số hữu tỉ. Khi đó 

\(\sqrt{7}=\dfrac{a}{b}\left(a,b\in N;a,b>0;\left(a,b\right)=1\right)\)

\(\Rightarrow7b^2=a^2\)

\(\Rightarrow a^2⋮7\Rightarrow a⋮7\Rightarrow a^2⋮49\Rightarrow7b^2⋮49\Rightarrow b^2⋮7\Rightarrow b⋮7\\ \Rightarrow\left(a,b\right)⋮7\Rightarrow1⋮7\left(VL\right)\)

=> giả sử sai .

Vậy căn 7 là số vô tỉ

giả sử √7 là số hữu tỉ 
=> √7 = a/b (a,b ∈ Z ; b ≠ 0) 
không mất tính tổng quát giả sử (a;b) = 1 
=> 7 = a²/b² 
<=> a² = b7² 
=> a² ⋮ 7 
7 nguyên tố 
=> a ⋮ 7 
=> a² ⋮ 49 
=> 7b² ⋮ 49
=> b² ⋮ 7
=> b ⋮ 7 
=> (a;b) ≠ 1 (trái với giả sử) 
=> giả sử sai 
=> √7 là số vô tỉ

Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ \(\Rightarrow\sqrt{7}=\dfrac{m}{n}\left(m,n\in Z;n\ne0\right)\) sao cho \(\left(m,n\right)=1\)

\(\Rightarrow m^2=7n^2\) \(\Rightarrow m^2⋮7\)

Do 7 là số nguyên tố nên \(m⋮7\Rightarrow m=7k\Rightarrow49k^2=7n^2\Rightarrow n^2=7k^2\)

Suy luận như trên ta được \(n⋮7\)

\(\Rightarrow7\inƯC\left(m,n\right)\) (mâu thuẫn giả thiết \(\left(m,n\right)=1\))

Vậy \(\sqrt{7}\) là số vô tỉ

Giả sử phản chứng √7 là số hữu tỉ ⇒ √7 có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản m/n  √7= m/n  ⇒ 7 = m²/n²  ⇒ m² =7n²  ⇒ m² chia hết cho n²  ⇒ m chia hết cho n (vô lý vì m/n là phân số tối giản nên m không chia hết cho n)  Vậy giả sử phản chứng là sai. Suy ra √7 là số vô tỉ.

Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ

=> \(\sqrt{7}=\dfrac{m}{n}\)(Tối giản)

=> 7=\(\dfrac{m^2}{n^2}\)hay 7n²=m²(1)

Đẳng thức này chứng tỏ m²\(⋮7\)mà 7 là số nguyên tố nên \(m⋮7\).

Đặt m=7k (\(k\in Z\)), ta có m²=49k²(2)

Từ (1) và (2) suy ra 7n²=49k² nên n²=7k²(3)

Từ (3) ta lại có \(n^2⋮7\)và vì 7 là số nguyên tố nên n⋮7. m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số \(\dfrac{m}{n}\)không tối giản, trái giả thiết.

Vậy \(\sqrt{7}\) không phải số hữu tỉ; do đó \(\sqrt{7}\) là số vô tỉ.

Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ được viết dưới dạng \(\dfrac{a}{b}\left(b\ne0\right)\) 

\(\Rightarrow\sqrt{7}=\dfrac{a}{b}\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{7}\right)^2=\left(\dfrac{a}{b}\right)^2\)

\(\Rightarrow7=\dfrac{a^2}{b^2}\)

\(\Rightarrow a^2=7b^2\)  

Nên: \(a^2\) ⋮ 7

\(\Rightarrow a\) ⋮ 7 (1)

Và: \(7b^2\) ⋮ 49

\(\Rightarrow b^2\) ⋮ 7

\(\Rightarrow b\) ⋮ 7 (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(a;b\right)\ne1\) 

Theo giả sử thì: \(\left(a;b\right)=1\)

Điều giả sử là sai 

\(\Rightarrow\sqrt{7}\) không phải là số hữu tỉ mà là số vô tỉ (đpcm) 

Giả sử √2 + √7 = a (a ∈ Z) 
thế thì (√2 + √7)² = a² 
.......⇔ 9 + 2√14 = a² 
.......⇔ 2√14 = a² - 9 
.......⇔ √14 = (a² - 9) /2 
Do a hữu tỉ => (a² - 9) /2 hữu tỷ và √14 vô tỷ (vô lý) 
Do đó √2 + √7 vô tỷ

Ai trên 10 điểm hỏi đáp thì mình nha mình đang cần gấp chỉ còn 99 điểm là tròn rồi mong các bạn hỗ trợ mình sẽ đền bù xứng đáng

tích nha 

ta dùng phương pháp phản chứng để giải 
giả sử căn7 không phải là số vô tỉ => căn 7 là số hữu tỉ 
=> căn7 =a/b (với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau) (vì căn 7 là số hữu tỉ nên có thể viết dưới dạng a/b) 
=> a^2/b^2=7 
=> a^2 =7b^2 
vì a, b là hai so nguyen to cung nhau nên để a^2=7b^2 thì a^2 phải chia het cho 7 
ma 7 la so nguyen tố => a chia het cho 7 => a có dạng a=7k 
ta lại có: a^2=7b^2 => 49k^2 =7b^2 => b^2=7k^2 tương tự ta => b chia hết cho 7 
ta có a và b đều chia het cho 7 trái với giả thiết a, b la hai so nguyen to cung nhau

Giả sử √2 + √7 = a (a ∈ Z) 
thế thì (√2 + √7)² = a² 
.......⇔ 9 + 2√14 = a² 
.......⇔ 2√14 = a² - 9 
.......⇔ √14 = (a² - 9) /2 
Do a hữu tỉ => (a² - 9) /2 hữu tỷ và √14 vô tỷ (vô lý) 
Do đó √2 + √7 vô tỷ