Ta có x + y + z = 1 nên z = 1 - x - y.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(\dfrac{\sqrt{xy+z\left(x+y+z\right)}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}+\sqrt{2x^2+2y^2}\ge1+\sqrt{xy}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:

\(\left(z+x\right)\left(z+y\right)\ge\left(\sqrt{z}.\sqrt{z}+\sqrt{x}.\sqrt{y}\right)^2=\left(z+\sqrt{xy}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}=\sqrt{xy}-x-y+1\); (1)

\(\sqrt{2x^2+2y^2}=\sqrt{\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\). (2)

Cộng vế với vế của (1), (2) ta có đpcm.

Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P

Ta có:

\(P=\dfrac{\sqrt{xy+\left(x+y+z\right)z}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}\)

\(P\ge\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{xy}+z\right)^2}+\sqrt{\left(x+y\right)^2}}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{xy}+x+y+z}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{xy}+1}{1+\sqrt{xy}}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)

sao đéo thấy z 

mk nhầm phải là 

\(\frac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\)

Ta có \(\sqrt{z+yx}=\sqrt{z\left(x+y+z\right)+xy}=\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\ge\sqrt{\left(z+\sqrt{xy}\right)^2}=z+\sqrt{xy}\)

\(\sqrt{\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge\sqrt{\left(x+y\right)^2}=x+y\)(bất đẳng buniacoxki)

Khi đó \(VT\ge\frac{x+y+z+\sqrt{xy}}{1+\sqrt{xy}}=\frac{1+\sqrt{xy}}{1+\sqrt{xy}}=1\)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1/3