ta có bđt cần chứng minh
\(\frac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\Leftrightarrow\sqrt{xy+z}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge1+\sqrt{xy}\)
Áp dụng bđt bu nhi ta có
\(\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\) (1)
mà x+y+z=1\(\Rightarrow xy+z=xy+z\left(x+y+z\right)=\left(z+x\right)\left(z+y\right)\)
áp dụng bu nhi a ta có \(\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}\) (2)
từ (1) và (2) => \(\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}\ge x+y+z+\sqrt{xy}=1+\sqrt{xy}\)
Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=1
Chứng minh rằng \(\dfrac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\)
cho x,y,z>0 vã+y+x=1. ttim GTNN cua A= \(\frac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2}+2y^2}{1+\sqrt{xy}}\)
cho x,y,z là các số dương và x+y+z=1 chứng minh rằng
\(\frac{\sqrt{xy+x}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\)
cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1.Tìm min
\(T=\left[\frac{\sqrt[3]{x+y+2z}\left(\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}\right)}{3\sqrt[6]{xy}}\right]\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\sqrt{2x^2-2x+1}\)
choa,b,c>0;\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1\)1
cmr\(\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}+\sqrt{\frac{yz}{y+z+2x}}+\sqrt{\frac{xz}{x+z+2y}}\le\frac{1}{2}\)
Cho \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\end{cases}}\)Tìm min A = \(\frac{\sqrt{x^2+2y^2}}{xy}+\frac{\sqrt{y^2+2z^2}}{yz}+\frac{\sqrt{z^2+2x^2}}{zx}\)
cho x,y,z>0 tìm Min \(\frac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{z^2-zx+x^2}}{z+x+2y}\)
Cho x,y,z>0 :\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}\)
Tìm min P=\(\frac{\sqrt{2x^2+y^2}}{xy}+\frac{\sqrt{2y^2+z^2}}{yz}+\frac{\sqrt{2z^2+x^2}}{zx}\)
