Vì n là số lẽ nên ta có : \(n=2k+1\left(k\in N\right)\). Thay vào :

\(\left(2k+1\right)^2-1=4k^2+4k+1-1=4k^2+4k=4k\left(k+1\right)\)

4 chia hết cho 4 ; \(k\left(k+1\right)\)là 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 \(\Rightarrow\left(2k+1\right)^2-1\) chia hết cho 8 (vì 4.2=8).

Vậy với mọi số tự nhiên n, nếu n là số lẽ thì \(n^2-1\) chia hết cho 8.

Ta có : n là số tự nhiên lẻ => n = 2k+1 (\(k\in N^{\text{*}}\))

\(n^2-1=\left(2k+1\right)^2-1=4k^2+4k+1-1=4k\left(k+1\right)\)

Vì k(k+1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2.

Do đó : 4k(k+1) chia hết cho 2.4=8

\(n^2+n+1=n\left(n+1\right)+1\)

có \(n\left(n+1\right)\)là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên \(n\left(n+1\right)\)là số chẵn

Do đó \(n\left(n+1\right)+1\)là số lẻ. 

Ta có đpcm. 

\(n^3-n\)=   \(n\left(n^2-1\right)\)=  \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Do (n-1)n(n+1) la h cua 3 so tự nhiên liên tiếp nên chia het cho 2 va 3

mà (2,3) =1 nen h chia het cho 6

Lại có n lẻ nên tích sẽ có 1 số chia hết cho 4

=> (n-1)n(n+1) chia hết cho 4*6 = 24

Hay \(n^3-1\)chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n lẻ

Đúng thì

Theo mình thì khi ta có a chia hết c, b chia hết cho c và (a,b)=1 thì ta mới có thể kết luận là ab chia hết cho c. 

Ví dụ: 12 chia hết cho 4, 12 chia hết cho 6 nhưng 12 không chia hết cho 24. 

Mình chỉ biết như thế còn không biết cách giải mong các bạn giúp đỡ.

Vì n lẻ 

=> n = 2k + 1 ( với k laf số tự nhiên )

\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1\right)^3-\left(2k+1\right)\)

\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1\right)\left[\left(2k+1\right)^2-1\right]\)

\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)2k\)

Vì 2k ; 2k + 1 ; 2k + 2 là 3 số tự nhiên liên tiếp .

\(\Rightarrow\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)2k\) chia hết cho 3

\(\Rightarrow n^3-n⋮3\)

Mặt khác : \(n^3-n=\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)2k\)

\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1\right)2\left(k+1\right)2k\)

\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1\right)4\left(k+1\right)k\) 

Xét thấy k và k+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp .

=> k(k+1) chia hết cho 2

\(\Rightarrow\left(2k+1\right)4\left(k+1\right)k⋮8\)

\(\Rightarrow n^3-n⋮8\) 

Mà (3;8) = 1

=> n³ - n chia hết cho 24 ( đpcm )

Ta có: n³ - n = (n - 1)n(n + 1)

Trong 3 số tự nhiên liên tiếp có đúng một số chia hết cho 3 \(\Rightarrow\) (n - 1)n(n + 1) \(⋮\) 3 (1)

Vì n lẻ nên n - 1 và n + 1 chẵn. Trong hai số chẵn liên tiếp có đúng một số chia hết cho 4 \(\Rightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}n-1⋮4\\n+1⋮4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) (n - 1)n(n + 1) \(⋮\) 8 (2)

Từ (1) và (2) suy ra (n - 1)n(n + 1) \(⋮\) 3; 8

\(\Rightarrow n^3-n⋮24\)

n lẻ nên n^3 lẻ. vậy n^3+1 chẵn. mà số chính phương chỉ có 2 là chẵn, còn lại lẻ ->đpcm

n có dạng 2k+1
n³+1 = (2k+1)³+1 = 8k³+12k²+6k+1+1=8k³+12k²+6k+2
Vì 8k³;6k và 2 không thể là số chính phương nên suy ra n³+1 không là số chính phương khi n lẻ.

n²+n+1= n(n+1)+1

Vì n và n+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp =>n(n+1)\(⋮\)2 => n(n+1) chẵn => n(n+1)+1 lẻ => điều phải chứng minh