Vì n lẻ
=> n = 2k + 1 ( với k laf số tự nhiên )
\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1\right)^3-\left(2k+1\right)\)
\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1\right)\left[\left(2k+1\right)^2-1\right]\)
\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)2k\)
Vì 2k ; 2k + 1 ; 2k + 2 là 3 số tự nhiên liên tiếp .
\(\Rightarrow\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)2k\) chia hết cho 3
\(\Rightarrow n^3-n⋮3\)
Mặt khác : \(n^3-n=\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)2k\)
\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1\right)2\left(k+1\right)2k\)
\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1\right)4\left(k+1\right)k\)
Xét thấy k và k+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp .
=> k(k+1) chia hết cho 2
\(\Rightarrow\left(2k+1\right)4\left(k+1\right)k⋮8\)
\(\Rightarrow n^3-n⋮8\)
Mà (3;8) = 1
=> n3 - n chia hết cho 24 ( đpcm )
Ta có: n3 - n = (n - 1)n(n + 1)
Trong 3 số tự nhiên liên tiếp có đúng một số chia hết cho 3 \(\Rightarrow\) (n - 1)n(n + 1) \(⋮\) 3 (1)
Vì n lẻ nên n - 1 và n + 1 chẵn. Trong hai số chẵn liên tiếp có đúng một số chia hết cho 4 \(\Rightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}n-1⋮4\\n+1⋮4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) (n - 1)n(n + 1) \(⋮\) 8 (2)
Từ (1) và (2) suy ra (n - 1)n(n + 1) \(⋮\) 3; 8
\(\Rightarrow n^3-n⋮24\)