Áp dụng BĐT Cô si ta có:

\(A=a+b+\frac{1}{a+b}\)

\(=\frac{1}{a+b}+\frac{a+b}{4}+\frac{3\left(a+b\right)}{4}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{1}{a+b}\cdot\frac{a+b}{4}}+\frac{3\cdot2\sqrt{ab}}{4}\)

\(\ge2\cdot\frac{1}{2}+\frac{3\cdot2}{4}=\frac{5}{2}\)

Khi a=b=1

Chú ý viết đề cẩn thận hơn bằng cách click vào nút Σ nhé

Gọi d là ƯCLN(a², a+ b) 

=> a² chia hết cho d

 a + b chia hết cho d => a ( a +b) chia hết cho d hay a² + ab chia hết cho d.

=> a² + ab - a² chia hết cho d

=> ab chia hết cho d; mà a, b là hai số nguyên tố cùng nhau (a,b) = 1

=> a chia hết cho d hoặc b chia hêt cho d.

=> d\(\in\) ƯC (a;b) mà \(ƯCLN\)(a , b) =1 => d = 1 =>\(ƯCLN\)(a², a + b) =1

=> d\(\in\) ƯC (a;b) mà \(ƯCLN\)(a , b) =1 => d = 1 =>\(ƯCLN\)(a², a + b) =1

Vậy (a², a + b) =1 

B= 1/3+1/4>1/4+1/4=1/2

C= 1/5+1/6+1/7+1/8>1/8+1/8+1/8+1/8=4/8=1/2

D= 1/9+1/10+1/11+...+1/16>1/16+1/16+...+1/16=8/16=1/2

E= 1/17+1/18+...+1/32>1/32+1/32+...1/32=16/32=1/2

vậy A=B+C+D+E>1/2+1/2+1/2+1/2=2

A>2

Ta có: a³b−ab³=a³b−ab−ab³+ab=ab(a²−1)−ab(b²−1)

=b(a−1)a(a+1)−a(b−1)b(b+1)

Do tích của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 6

=> b(a−1)a(a+1);a(b−1)b(b+1)⋮6⇒a³b−ab³⋮6⇒a³b−ab³⋮6

mk chưa đk hok đến dạng này , còn phần b chắc cx như phần a thôy , pjo mk có vc bận nên tối về mk sẽ lm típ nha

Ta có:

\(\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\le1\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{a^2+2}+\frac{2}{b^2+2}+\frac{2}{c^2+2}\le2\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{2}{a^2+2}+1-\frac{2}{b^2+2}+1-\frac{2}{c^2+2}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\ge1\)

Ta cần cm bđt trên đúng.Thật vậy

\(\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)}=1\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)

\(------------------------\)

Từ bất đẳng thức cơ bản sau: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)  thì ta rút ra một bất đăng thức mới có dạng như sau:

\(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2=9\) 

nên  \(ab+bc+ca\le3\)  \(\left(i\right)\)

\(---------------------\)

Ta có:

\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{b+ab}{2}\left(1\right)\) 

Thiết lập tương tự các mối quan hệ như trên theo sơ đồ hoán vị  \(b\rightarrow c\rightarrow a\)  như sau:

\(\hept{\begin{cases}\frac{b+1}{c^2+1}\ge b+1-\frac{c+bc}{2}\left(2\right)\\\frac{c+1}{a^2+1}\ge c+1-\frac{a+ca}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\)  và   \(\left(3\right)\)  với lưu ý đã chứng minh ở  \(\left(i\right)\)  suy ra  \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge\frac{a+b+c}{2}+3-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3}{2}+3-\frac{3}{2}=3\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  \(a=b=c=1\)