Cho 1/x+1/y+1/z=0
Tính A= xyz(1/x^3+1/y^3+1/z^3)
Cho 3 số thực dương x,y,z.Cmr:
1/(x^3+y^3+xyz) +1/(y^3+z^3+xyz) +1/(z^3+x^3+xyz)<hoặc =1/xyz
Ta có: \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\dfrac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\dfrac{1}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{x+y+z}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)=\dfrac{1}{x+y+z}.\left(\dfrac{x+y+z}{xyz}\right)=\dfrac{1}{xyz}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Cho x,y,x > 0. Chứng minh 1/ x^3 + y^3+ xyz + 1/ y^3+ +z^3+ xyz + 1/ z^3+ x^3+ xyz < hay = 1/xyz
Với x ; y > 0 , cần c/m : \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
Ta có : \(x^3+y^3-xy\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2-xy\right)=\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)
( điều này luôn đúng với mọi x ; y > 0 )
=> BĐT được c/m
Áp dụng vào bài toán , ta có :
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{xz\left(x+z\right)+xyz}=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{xyz}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z;x,y,z>0\)
cho 1/x+1/y+1/z=0. tính A=xyz(1/x^3+1/y^3+1/z^3)
Lời giải:
Đặt $\frac{1}{x}=a; \frac{1}{y}=b; \frac{1}{z}=c$ thì bài toán trở thành:
Cho $a+b+c=0$. Tính $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$
-----------------
Ta có:
$a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$. Khi đó:
$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac{(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3}{abc}$
$=\frac{(-c)^3-3ab(-c)+c^3}{abc}=\frac{-c^3+3abc+c^3}{abc}=\frac{3abc}{abc}=3$
Cho 3 số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\le\frac{1}{xyz}\)
Ta có:
\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow x^2+y^2-xy\ge xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3+xyz}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}=\frac{1}{x+y+z}.\frac{1}{xy}\)
Tương tự: \(\frac{1}{y^3+z^3+xyz}\le\frac{1}{x+y+z}.\frac{1}{yz}\) ;\(\frac{1}{z^3+x^3+xyz}\le\frac{1}{x+y+z}.\frac{1}{zx}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{z^3+x^3+xyz}\)
\(\le\frac{1}{x+y+z}.\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{x+y+z}{\left(x+y+z\right)xyz}=\frac{1}{xyz}\)
Dấu \(=\) xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z>0\)
Cho ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\le\frac{1}{xyz}\)
AD BĐT X^3+Y^3>=XY(X+Y) LÀ RA
Có BĐT phụ:
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
Áp dụng
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\)
\(\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)
\(=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{zx\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{1}{xyz}\)
a)Chứng minh x3 + y3 ≥xy(x+y) với x,y≥0
b)Cho x,y,z>0 thỏa mãn xyz=1
CMR:\(\dfrac{1}{x^3+y^3+1}+\dfrac{1}{y^3+z^3+1}+\dfrac{1}{z^3+x^3+1}\le1\)
Lời giải:
a. Xét hiệu:
$x^3+y^3-xy(x+y)=(x^3-x^2y)-(xy^2-y^3)=x^2(x-y)-y^2(x-y)$
$=(x-y)(x^2-y^2)=(x-y)^2(x+y)\geq 0$ với mọi $x,y\geq 0$
$\Rightarrow x^3+y^3\geq xy(x+y)$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
b.
Áp dụng BĐT phần a vô:
$x^3+y^3\geq xy(x+y)$
$\Rightarrow x^3+y^3+1\geq xy(x+y)+1=xy(x+y)+xyz=xy(x+y+z)$
$\Rightarrow \frac{1}{x^3+y^3+1}\leq \frac{1}{xy(x+y+z)}=\frac{xyz}{xy(x+y+z)}=\frac{z}{x+y+z}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại suy ra:
$\text{VT}\geq \frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=1$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
cho x;y;z>0 và xyz=1 .Tìm GTLN của A=1/x^3+y^3+1 +1/y^3+z^3+1 +1/z^3+x^3+1
\(x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)
=> \(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}\)
Hai cái còn lại tương tự
=> A \(\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{x+y+z}\cdot\frac{x+y+z}{xyz}=1\)
Vậy MAx A = 1 tại x = y = z = 1
Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{x^3+y^3+xyz}+\dfrac{1}{y^3+z^3+xyz}+\dfrac{1}{z^3+x^3+xyz}\le\dfrac{1}{xyz}\)
do x,y,z là các số dương nên
\(x^2-xy+y^2\ge xy\Leftrightarrow x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
tương tự ta cũng có : \(y^3+z^3\ge yz\left(y+z\right)\)
\(z^3+x^3\ge zx\left(z+x\right)\)
\(\Rightarrow\Sigma\dfrac{1}{x^3+y^3+xyz}\le\Sigma\dfrac{1}{xy\left(x+y+z\right)}=\dfrac{1}{x+y+z}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)\)
\(=\dfrac{1}{x+y+z}\left(\dfrac{x+y+z}{xyz}\right)=\dfrac{1}{xyz}\left(đpcm\right)\)
cho 3 điểm x y z xyz=1 tính a=(x^2/1+y) + (y^2/1+z)+(z^2/1+x)
Cho x,y,z > 0 và xyz=1. Tìm GTLN của P = 1/(x^3(y^3+z^3)+1) + 1/(y^3(z^3+x^3)+1) + 1/(z^3(x^3+y^3)+1)