Đặt \(x^3=a,y^3=b,z^3=c\Rightarrow abc=1\)

\(P=\dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Ta chứng minh bổ đề sau

\(\dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\dfrac{a+b}{3}\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+2ab^2+2a^2b+b^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

Bất đẳng thức cuối luôn đúng. Sử dụng bổ đề ta được

\(P\ge\dfrac{a+b}{3}+\dfrac{b+c}{3}+\dfrac{c+a}{3}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{3}\ge\dfrac{2.3\sqrt[3]{abc}}{3}=2\)

sao lại chai hết cho 6 ????????

hả????????????????

hả?????????????????????????

Học hằng đẳng thức ni chưa a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

Nếu rồi thì giải như sau

x+y+z=0 suy ra x³+y³+z³=3xyz

tương tự \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)=3\(\frac{1}{xyz}\)

M=\(\frac{3x^2y^2z^2}{3xyz}\);M=xyz

Đề cho \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)=0 làm chi vậy bạn

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\)

CM : \(x^3y^3+y^3z^3+x^3z^3=3x^2y^2z^2\)

CM: \(x+y+z=0\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)

\(\Rightarrow\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2-2\left(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3\right)}{3xyz}=\frac{3x^2y^2z^2}{xyz}=xyz\)

bài 1 : a,ta có 3/x-1 =4/y-2=5/z-3 =>  x-1/3=y-2/4=z-3/5 

áp dụng .... => x-1+y-2+z-3 / 3+4+5 = x+y+z-1-2-3/3+4+5 = 12/12=1

do x-1/3 = 1 => x-1 = 3 => x= 4 ( tìm y,z tương tự

Bài 1: 

a) Ta có: 3/x - 1 = 4/y - 2 = 5/z - 3 => x - 1/3 = y - 2/4 = z - 3/5 áp dụng ... =>x - 1 + y - 2 + z - 3/3 + 4 + 5 = x + y + z - 1 - 2 - 3/3 + 4 + 5 = 12/12 = 1 do x - 1/3 = 1 => x - 1 = 3 => x = 4 ( tìm y, z tương tự )

cũng dễ thôi

\(P=\dfrac{1}{12}.3x.2y.2x\le\dfrac{1}{12}.\dfrac{1}{27}\left(3x+2y+2z\right)^3\)

\(P\le\dfrac{1}{324}\left(x+24\right)^3\le\dfrac{1}{324}.\left(3+24\right)^3=\dfrac{243}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(3;\dfrac{9}{2};\dfrac{9}{2}\right)\)

a: 3x=7y

=>x/7=y/3=(x-y)/(7-3)=-16/4=-4

=>x=-28; y=-12

b: x/6=y/5

=>x/6=2y/10=(x+2y)/(6+10)=20/16=5/4

=>x=30/4=15/2; y=25/4

c: Áp dụng tính chất của DTSBN, ta được:

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{-3}=\dfrac{z}{5}=\dfrac{2x+3y+5z}{2\cdot2+3\cdot\left(-3\right)+5\cdot5}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}\)

=>x=3/5; y=-9/10; z=3/2

d: x/2=y/3

=>x/8=y/12

y/4=z/5

=>y/12=z/15

=>x/8=y/12=z/15

Áp dụng tính chất của DTSBN, ta được:

\(\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{15}=\dfrac{x+y-z}{8+12-15}=\dfrac{10}{5}=2\)

=>x=16; y=24; z=30

\(\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{6}=\frac{x+y-z}{4+5-6}=\frac{x+y-z}{3}\Rightarrow x+y-z=\frac{3x}{4}\)

\(\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{6}=\frac{x}{4}=\frac{2y}{10}=\frac{z}{6}=\frac{x+2y-z}{4+10-6}=\frac{x+2y-z}{8}\Rightarrow x+2y-z=\frac{8x}{4}=2x\)

\(B=\frac{x+y-z}{x+2y-z}=\frac{\frac{3x}{4}}{2x}=\frac{3x}{4.2x}=\frac{3}{8}\)