Câu 1:

$A=(1+5+5^2)+(5^3+5^4+5^5)+...+(5^{2016}+5^{2017}+5^{2018})$

$=(1+5+5^2)+5^3(1+5+5^2)+....+5^{2016}(1+5+5^2)$

$=(1+5+5^2)(1+5^3+...+5^{2016})$

$=31(1+5^3+...+5^{2016})\vdots 31$ (đpcm)

Câu 2:

$2x+7\vdots 2x-2$
$\Rightarrow (2x-2)+9\vdots 2x-2$

$\Rightarrow 9\vdots 2x-2$

$\Rightarrow 2x-2$ là ước của $9$

Mà $2x-2$ là số chẵn với mọi $x$ nguyên, còn $Ư(9)\in \left\{\pm 1; \pm 3; \pm 9\right\}$ (không có ước nào chẵn) 

$\Rightarrow$ không tồn tại $x$ nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài.

± dấu này là dấu gì

Tìm x ∈ N

a) 2x chia hết cho 12 ⇒ 2x ∈ B(12) 

2x chia hết cho 30 ⇒ 2x ∈ B(30) 

Mà x có hai chữ số ⇒ 10 ≤ x ≤ 99 

\(\Rightarrow2x\in BC\left(12;30\right)\)

Mà: \(B\left(12\right)=\left\{0;12;24;36;48;60;72;84;96;108;...\right\}\)

\(B\left(30\right)=\left\{0;30;60;90;120;...\right\}\)

\(\Rightarrow BC\left(12;30\right)=\left\{0;60;...\right\}\)

\(\Rightarrow2x=60\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{60}{2}\\ \Rightarrow x=30\)

b) \(9^{x+2}-9^{x+1}+9^x=657\)

\(\Rightarrow9^x\cdot\left(9^2-9+1\right)=957\)

\(\Rightarrow9^x\cdot\left(81-8\right)=657\)

\(\Rightarrow9^x\cdot73=657\)

\(\Rightarrow9^x=9\)

\(\Rightarrow9^x=9^1\)

\(\Rightarrow x=1\)

a: \(\Leftrightarrow x-2\in\left\{1;-1;5;-5;25;-25\right\}\)

hay \(x\in\left\{3;1;7;-3;27;-23\right\}\)

a) x+6 \(⋮\)x

\(\Leftrightarrow\)6 \(⋮\) x (vì muốn tổng chia hết thì từng số hạng phải chia hết, mà x chia hết cho x)

\(\Leftrightarrow\) x\(\in\)Ư(6) ={1: -1: 2: -2: 3; -3: 6: -6}

tương tự câu b)  thì x \(\in\)Ư(5) ={_1, 1, 5, -5}

c)thì 2x+1=2x+2-1=2(x+1)-1

vì 2(x+1) chia hết cho x+1 nên -1 chia hết cho x+1 

=>x+1 \(\in\)Ư(-1)={1, -1}

=>x \(\in\){0,-2}

Ta có x+6 chia hết cho x

suy ra x+6-x chia hết cho x

            6 chia  hết cho x suy ra x thuộc Ư(6)

     Vậy x thuộc{-1;1;-2;2;-3;3;6;-6}

b  x=4x

suy ra (4x+5)-(4x) chia hết cho x

           4x+5-4x chia hết cho x

             5 chia hết cho x suy ra x thuộc Ư (5)

  Vậy x thuộc{-1;1;5;-5}

2x + 5 chia hết cho x + 1

=> 2x + 2 + 3 chia hết cho x + 1

=> 2(x + 1) + 3 chia hết cho x + 1

Có 2(x + 1) chia hết cho x + 1

=> 3 chia hết cho x + 1

=> x + 1 thuộc Ư(3)

=> x + 1 thuộc {1; -1; 3; -3}

=> x thuộc {0; -2; 2; -4}

2x + 5 chia hết cho x + 1

=> 2x + 2 + 3 chia hết cho x + 1

=> 2.(x + 1) + 3 chia hết cho x + 1

Do 2.(x + 1) chia hết cho x + 1 => 3 chia hết cho x + 1

=> \(x+1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

=> \(x\in\left\{0;-2;2;-4\right\}\)

2x + 5 ⋮ x + 1 <=> 2(x + 1) + 3 ⋮ x + 1

<=> 3 ⋮ x + 1 (vì 2(x + 1) ⋮ x + 1)

<=> x + 1 ∈ Ư(3) = {1; -1; 3; -3}

Đến đây tự làm tiếp.

phần b là 4 nhân x nha

Bài 1 :

Ta có :

\(n^n-n^2+n-1\)

\(=\left(n^n-1^n\right)-\left(n^2-n\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n^{n-1}+n^{n-2}+n^{n-3}...+n^1+1\right)-\left(n-1\right)n\)

\(=\left(n-1\right)\left(n^{n-1}+n^{n-2}+...+n+1-n\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n^{n-1}+n^{n-2}+...+n^1+n^0-n\right)\)

Thấy \(n^{n-1}+n^{n-2}+...+n^1+n^0\)có \(n\)số hạng, nên khi trừ đi \(n\)cũng như trừ mỗi số hạng cho 1. ( Vì n số , mỗi số trừ đi 1 thì trừ tổng cộng là \(n.1=n\))

Do đó ta có :

\(=\left(n-1\right)\left[\left(n^{n-1}-1\right)+\left(n^{n-2}-1\right)+...+\left(n^2-1\right)+\left(n-1\right)+\left(1-1\right)\right]\)

Nhận xét :

\(n^{n-1}-1=\left(n-1\right)\left(n^{n-2}+n^{n-3}+...+n+1\right)\)chia hết cho \(n-1\)

\(n^{n-2}-1=\left(n-1\right)\left(n^{n-3}+n^{n-4}+...+n+1\right)\)chia hết cho \(n-1\)

\(...\)

\(n-1\)chia hết cho \(n-1\)

\(1-1=0\)chia hết cho \(n-1\)

\(\Rightarrow\left(n^{n-1}-1\right)+\left(n^{n-2}-1\right)+...+\left(n^2-1\right)+\left(n-1\right)+\left(1-1\right)\)chia hết cho \(n-1\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)\left[\left(n^{n-1}-1\right)+\left(n^{n-2}-1\right)+...+\left(n^2-1\right)+\left(n-1\right)+\left(1-1\right)\right]\)chia hết cho \(n-1\)

\(\Rightarrow n^n-n^2+n-1\)chia hết cho \(n-1\)

Vậy ...

Bài 2 :

Ta có :

\(\left(x-2\right)\left(x^2+2x+7\right)+2\left(x^2-4\right)-5\left(x-2\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left(x^2+2x+7\right)+2\left(x-2\right)\left(x+2\right)-5\left(x-2\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left[x^2+2x+7+2\left(x+2\right)-5\right]\)

\(=\left(x-2\right)\left(x^2+4x+6\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left[\left(x^2+4x+4\right)+2\right]\)

\(=\left(x-2\right)\left[\left(x+2\right)^2+2\right]=0\)

Mà \(\left(x+2\right)^2+2\ge0+2=2>0\)

\(\Rightarrow x-2=0\)

\(\Rightarrow x=2\)

Vậy ...

Bài 3: 

=>-3<x<2