Những câu hỏi liên quan
BB
Xem chi tiết
NK
23 tháng 1 2021 lúc 21:25

\(\dfrac{x^2+1}{x}=\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{1}{x}=x+\dfrac{1}{x}\)

Theo bất đẳng thức Cô - si, ta có:

\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}=2\sqrt{1}=2\)

Vậy \(\dfrac{x^2+1}{x}\ge2\)

 

Bình luận (0)
H24
23 tháng 1 2021 lúc 21:36

1 cách chứng minh khác (chứng minh tương đương)

\(\dfrac{x^2+1}{x}\ge2\\ \Leftrightarrow x^2+1\ge2x\\ \Leftrightarrow x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng}\right)\)

Vậy BĐT ban đầu được chứng minh

Bình luận (0)
BB
Xem chi tiết
NL
23 tháng 1 2021 lúc 21:11

Biến đổi tương đương:

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ge2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã được chứng minh

Bình luận (0)
H24
23 tháng 1 2021 lúc 21:53

Cách khác so với anh Nguyễn Việt Lâm

Ta có: \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{y}{x}}=2\)  (đpcm)

Bình luận (0)
SK
Xem chi tiết
NA
Xem chi tiết
NA
Xem chi tiết
DH
6 tháng 4 2017 lúc 17:13

\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3-2x-2y-2z\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-2z+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

Bình luận (0)
NA
6 tháng 4 2017 lúc 17:55

cảm ơn bạn nhiều

Bình luận (0)
TT
25 tháng 2 2020 lúc 10:30

Ta có : \(x^2+1\ge2x\) (1)

\(y^2+1\ge2y\) (2)

\(z^2+1\ge2z\) (3)

Cộng các vế của  (1) (2) (3) ta được :

\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
H24
Xem chi tiết
NM
23 tháng 10 2021 lúc 11:50

\(BĐT\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y+z}+1\right)+\left(\dfrac{y}{x+z}+1\right)+\left(\dfrac{z}{x+y}+1\right)\ge\dfrac{3}{2}+3=\dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge9\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)

Nhân vế theo vế 2 BĐT ta được

\(\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge3\cdot3\sqrt[3]{1}=9\)

Do đó \(\left(1\right)\) luôn đúng

Vậy ta được đpcm

Bình luận (0)
RH
23 tháng 10 2021 lúc 11:45

Phải có thêm dữ kiện x,y,z > 0 nữa nhé.

Áp dụng BĐT C - S dạng Engel, ta có:

Cycma(x/(y + z)) = cycma(x^2/(xy + xz)) >= cycma(x)^2/(2cycma(xy)) >= cycma(x)^2/((2cycma(x)^2)/3) = 3/2 (đpcm)

Bình luận (0)
H24
23 tháng 10 2021 lúc 11:51

đây là BĐT Nesbit cho 3 số thực dương nên thiếu điều kiện x,y,z\(\in R\)*

Bình luận (0)
NA
Xem chi tiết
HN
27 tháng 4 2017 lúc 20:57

Bạn hỏi câu này có lẽ bạn chưa biết BĐT côsi, mk sẽ trình bày từ bước chứng minh BĐT

Ta có: \(\left(m-n\right)^2\ge0\)

<=> \(m^2-2m.n+n^2\ge0\)

<=> \(m^2+2m.n+n^2-4m.n\ge0\)

<=> \(\left(m+n\right)^2\ge4m.n\)

=> \(m+n\ge2\sqrt{m.n}\) ( BĐT côsi)

a, Áp dụng BĐT côsi ta có:

\(\dfrac{1}{x}+x\ge2\sqrt{\dfrac{1}{x}.x}=2\)

vậy \(\dfrac{1}{x}+x\ge2\) (x>0)

b, Áp dụng BĐT côsi ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)

vậy \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\) với a, b >0

-----------Chúc bạn học tốt hehe-------------

Bình luận (0)
SK
Xem chi tiết
NH
23 tháng 5 2017 lúc 14:10

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sốỨng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bình luận (3)
NN
Xem chi tiết
NL
25 tháng 5 2021 lúc 18:32

Điều kiện là \(xy\ne0\)

BĐT tương đương:

\(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2-3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-1\right)\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2-xy\right)\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}\ge0\) (luôn đúng)

Bình luận (0)