\(\int\left(3x^2-2x-4\right)dx=x^3-x^2-4x+C\)

\(\int\left(sin3x-cos4x\right)dx=-\dfrac{1}{3}cos3x-\dfrac{1}{4}sin4x+C\)

\(\int\left(e^{-3x}-4^x\right)dx=-\dfrac{1}{3}e^{-3x}-\dfrac{4^x}{ln4}+C\)

d. \(I=\int lnxdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow u=x.lnx-\int dx=x.lnx-x+C\)

e. Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=x.e^x-\int e^xdx=x.e^x-e^x+C\)

f.

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+1\\dv=sinxdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=-cosx\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=-\left(x+1\right)cosx+\int cosxdx=-\left(x+1\right)cosx+sinx+C\)

g.

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=\dfrac{1}{2}x^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}x^2.lnx-\dfrac{1}{2}\int xdx=\dfrac{1}{2}x^2.lnx-\dfrac{1}{4}x^2+C\)

\(y=xcos2x+\sqrt{x^2+2x+3}\)  \(\Rightarrow y'=\left(xcos2x\right)'+\left(\sqrt{x^2+2x+3}\right)'\)

Thấy : \(\left(xcos2x\right)'=x\left(cos2x\right)'+cos2x=-2xsin2x+cos2x\)

\(\left(\sqrt{x^2+2x+3}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+2x+3}}.\left(x^2+2x+3\right)'=\dfrac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+3}}=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}}\)

Suy ra : \(y'=-2xsin2x+cos2x+\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}}\)

Tìm đạo hàm ạ

a) \(\int\left(x+\ln x\right)x^2\text{d}x=\int x^3\text{d}x+\int x^2\ln x\text{dx}\)

\(=\dfrac{x^4}{4}+\int x^2\ln x\text{dx}+C\) (*)

Để tính: \(\int x^2\ln x\text{dx}\) ta sử dụng công thức tính tích phân từng phần như sau:

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\ln x\\v'=x^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=\dfrac{1}{x}\\v=\dfrac{1}{3}x^3\end{matrix}\right.\)

Suy ra:

\(\int x^2\ln x\text{dx}=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{3}\int x^2\text{dx}\)

\(=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}x^3\)

Thay vào (*) ta tính được nguyên hàm của hàm số đã cho bằng:

(*) \(=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{3}x^3\ln x+\dfrac{1}{9}x^3+C\)

\(=\dfrac{4}{9}x^3-\dfrac{1}{3}x^3\ln x+C\)

b) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+\sin^2x\\v'=\sin x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=1+2\sin x.\cos x\\v=-\cos x\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\int\left(x+\sin^2x\right)\sin x\text{dx}=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\int\left(1+2\sin x\cos^2x\right)\text{dx}\)

\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\int\cos x\text{dx}+2\int\sin x.\cos^2x\text{dx}\)

\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\sin x-2\int\cos^2x.d\left(\cos x\right)\)

\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\sin x-2\dfrac{\cos^3x}{3}+C\)

c) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+e^x\\v'=e^{2x}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=1+e^x\\v=\dfrac{1}{2}e^{2x}\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\int\left(x+e^x\right)e^{2x}\text{dx}=\dfrac{1}{2}\left(x+e^x\right)e^{2x}-\dfrac{1}{2}\int\left(1+e^x\right)e^{2x}\text{dx}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(x+e^x\right)e^{2x}-\dfrac{1}{2}\int e^{2x}\text{dx}-\dfrac{1}{2}\int e^{3x}\text{dx}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(x+e^x\right)e^{2x}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}e^{2x}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}e^{3x}\)

\(=\dfrac{1}{2}xe^{2x}-\dfrac{1}{4}e^{2x}+\dfrac{1}{3}e^{3x}\)

4 câu 1,3,4,5 giống nhau, mình làm 1 câu và bạn dựa vào đó tự xử lý mấy câu còn lại nhé

1/ \(I=\int sin2x.e^{3x}dx\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=sin2x\\dv=e^{3x}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2cos2x.dx\\v=\dfrac{1}{3}e^{3x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}sin2x.e^{3x}-\dfrac{2}{3}\int cos2x.e^{3x}dx=\dfrac{1}{3}sin2x.e^{3x}-\dfrac{2}{3}I_1\)

Xét \(I_1=\int cos2x.e^{3x}dx\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=cos2x\\dv=e^{3x}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-2sin2xdx\\v=\dfrac{1}{3}e^{3x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_1=\dfrac{1}{3}cos2x.e^{3x}+\dfrac{2}{3}\int sin2x.e^{3x}dx=\dfrac{1}{3}cos2x.e^{3x}+\dfrac{2}{3}I\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}sin2x.e^{3x}-\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{3}cos2x.e^{3x}+\dfrac{2}{3}I\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{13}{9}I=\dfrac{1}{9}e^{3x}\left(3sin2x-2cos2x\right)\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{13}e^{3x}\left(3sin2x-2cos2x\right)+C\)

3/ \(\int e^x\left(\dfrac{1+cos2x}{2}\right)dx=\dfrac{1}{2}\int e^xdx+\dfrac{1}{2}\int cos2x.e^xdx=\dfrac{e^x}{2}+\dfrac{1}{2}I_1\)

\(I_1\) có cách tính y hệt như bài 1, bạn nguyên hàm từng phần 2 lần là xong

4/ Cũng hạ bậc tương tự câu trên và xử lý

5/ \(I=\int e^{-x}\left(\dfrac{cos3x+3cosx}{4}\right)dx=\dfrac{1}{4}\int e^{-x}\left(cos3x+3cosx\right)dx\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{4}\int e^{-x}cos3x.dx+\dfrac{3}{4}\int e^{-x}cosx.dx=I_1+I_2\)

Dùng phương pháp tương tự bài 1, lần lượt tính \(I_1\) và \(I_2\) rồi cộng vào

2/\(I=\int\dfrac{x^4}{\left(x^2-1\right)^2}dx=\int\left(1+\dfrac{2x^2-1}{\left(x^2-1\right)^2}\right)dx=\int\left(1+\dfrac{2}{x^2-1}+\dfrac{1}{\left(x^2-1\right)^2}\right)dx\)

\(=\int\left(1+\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right)^2\right)dx\)

\(=\int\left(1+\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}\right)\right)dx\)

\(=\int\left(1+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right)+\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\right)dx\)

\(=x+\dfrac{3}{4}ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|-\dfrac{1}{4\left(x+1\right)}-\dfrac{1}{4\left(x-1\right)}+C\)

\(=x+\dfrac{3}{4}ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|-\dfrac{x}{2\left(x^2-1\right)}+C\)

Đáp án là D

Không phải tất cả các câu đều dùng nguyên hàm từng phần được đâu nhé, 1 số câu phải dùng đổi biến, đặc biệt những câu liên quan đến căn thức thì đừng dại mà nguyên hàm từng phần (vì càng nguyên hàm từng phần biểu thức nó càng phình to ra chứ không thu gọn lại, vĩnh viễn không ra kết quả đâu)

a/ \(I=\int\frac{9x^2}{\sqrt{1-x^3}}dx\)

Đặt \(u=\sqrt{1-x^3}\Rightarrow u^2=1-x^3\Rightarrow2u.du=-3x^2dx\)

\(\Rightarrow9x^2dx=-6udu\)

\(\Rightarrow I=\int\frac{-6u.du}{u}=-6\int du=-6u+C=-6\sqrt{1-x^3}+C\)

b/ Đặt \(u=1+\sqrt{x}\Rightarrow du=\frac{dx}{2\sqrt{x}}\Rightarrow2du=\frac{dx}{\sqrt{x}}\)

\(\Rightarrow I=\int\frac{2du}{u^3}=2\int u^{-3}du=-u^{-2}+C=-\frac{1}{u^2}+C=-\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}+C\)

c/ Đặt \(u=\sqrt{2x+3}\Rightarrow u^2=2x\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{u^2}{2}\\dx=u.du\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\int\frac{u^2.u.du}{2u}=\frac{1}{2}\int u^2du=\frac{1}{6}u^3+C=\frac{1}{6}\sqrt{\left(2x+3\right)^3}+C\)

d/ Đặt \(u=\sqrt{1+e^x}\Rightarrow u^2-1=e^x\Rightarrow2u.du=e^xdx\)

\(\Rightarrow I=\int\frac{\left(u^2-1\right).2u.du}{u}=2\int\left(u^2-1\right)du=\frac{2}{3}u^3-2u+C\)

\(=\frac{2}{3}\sqrt{\left(1+e^x\right)^2}-2\sqrt{1+e^x}+C\)

e/ Đặt \(u=\sqrt[3]{1+lnx}\Rightarrow u^3=1+lnx\Rightarrow3u^2du=\frac{dx}{x}\)

\(\Rightarrow I=\int u.3u^2du=3\int u^3du=\frac{3}{4}u^4+C=\frac{3}{4}\sqrt[3]{\left(1+lnx\right)^4}+C\)

f/ \(I=\int cosx.sin^3xdx\)

Đặt \(u=sinx\Rightarrow du=cosxdx\)

\(\Rightarrow I=\int u^3du=\frac{1}{4}u^4+C=\frac{1}{4}sin^4x+C\)

Từ phần này trở đi mới bắt đầu xài nguyên hàm từng phần:

g/ \(I=\int\left(x^2+2x-1\right)e^xdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x^2+2x-1\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\left(2x+2\right)dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\left(x^2+2x-1\right)e^x-\int\left(2x+2\right)e^xdx\)

Xét \(J=\int\left(2x+2\right)e^xdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=2x+2\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow J=\left(2x+2\right)e^x-\int2e^xdx=\left(2x+2\right)e^x-2e^x+C=2x.e^x+C\)

\(\Rightarrow I=\left(x^2+2x-1\right)e^x-2x.e^x+C=\left(x^2-1\right)e^x+C\)

y′′ = −4sin2x − 4xcos2x.

Chọn C.

y' = cos2x – 2xsin2x;

y” = -2sin2x – (2sin2x + 4xcos2x) = -4sin2x – 4xcos2x.

Đối với cả ba nguyên hàm đã cho, ta sẽ áp dụng liên tiếp hai làn lấy nguyên hàm từng phần và trong hai lần việc chọn hàm \(u=u\left(x\right)\) là tùy ý ( còn \(dv\) là phần còn lại của biểu thức dưới dấu nguyên hàm. Sau phép lấy nguyên hàm từng phần kép đó ta sẽ thu được một phương trình bậc nhất với ẩn là nguyên hàm cần tìm

a) Đặt \(u=e^{2x}\) ,\(dv=\sin3xdx\)

Từ đó \(du=2e^{2x}dx\)   , \(v=\int\sin3xdx=-\frac{1}{3}\cos3xdx\) Do đó : 

\(I_1=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{3}\int e^{2x}\cos3xdx\)

\(=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{3}.I'_1\)\(I'_1=\int e^{2x}\cos3xdx\)

Ta áp dụng công thức lấy nguyên hàm từng phần

Đặt \(u=e^{2x}\)  ; \(dv=\cos3xdx\)   Khi đó \(du=2^{2x}dx\); \(v=\frac{1}{3}\sin2x\)

Do đó \(I'_1=\frac{1}{3}e^{2x}\sin3x-\frac{2}{3}\int e^{2x}\sin3xdx\) Như vậy :

\(I_1=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{9}e^{2x}\sin3x-\frac{4}{9}\int e^{2x}\sin3xdx\)

\(I_1=\int e^{2x}\sin3xdx\)

Tức là \(I_1=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{9}\sin3x-\frac{4}{9}I_1\)

Ta có \(I_1=\frac{3}{13}e^{2x}\left(\frac{2}{3}\sin3x-\cos3x\right)+C\)

b) Đặt \(u=e^{-x}\) ; \(dv=\cos\frac{x}{2}dx\)

Từ đó :

\(du=-e^{-x}dx\)   ; \(v=\int\cos\frac{x}{2}dx=2\int\cos\frac{x}{2}d\left(\frac{x}{2}\right)=2\sin\frac{x}{2}\)

Do đó :

\(I_2=2e^{-x}\sin\frac{x}{2}+2\int e^{-x}\sin\frac{x}{2}dx\) (b)

\(\int e^{-x}\sin\frac{x}{2}dx=I'_2\)

Ta cần tính \(I'_2\)  Đặt \(u=e^{-x}\)   ; \(dv=\sin\frac{x}{2}dx\)

Từ đó :

\(du=-e^{-x}dx\)   ; \(v=\int\sin\frac{x}{2}dx=-2\cos\frac{x}{2}\)

Do đó :

\(I'_2=-2e^{-x}\cos\frac{x}{2}-2\int e^{-x}\cos\frac{x}{2}dx\)

    \(=-2e^{-x}\cos\frac{x}{2}-2I_2\)

Thế \(I'_2\)   vào (b) ta thu được phương trình bậc nhất với ẩn là \(I_2\)

\(I_2=2e^{-x}\sin\frac{x}{2}+2\left[-2e^{-x}\cos\frac{x}{2}-2I_2\right]\)

hay là

\(5I_2=2e^{-x}\sin\frac{x}{2}-4e^{-x}\cos\frac{x}{2}\) \(\Rightarrow\) \(I_2=\frac{2}{5}e^{-x}\left(\sin\frac{x}{2}-2\cos\frac{x}{2}\right)+C\)

c) Trước khi áp dụng công thức lấy nguyên hàm từng phần ta thực hiện phép đổi biến \(t=e^x\).

Khi đó : \(I_2=\int t^2\cos tdt=t^2\sin t-2\int t\sin tdt\)

                 \(=t^2\sin t-2\left(-t\cos t+\int\cos tdt\right)\)

                 =\(\left(t^2-2\right)\sin t+2t\cos t+C\)

                 \(=\left(e^{2x}-2\right)\sin e^x+2e^x\cos e^x+C\)