Bài 1: Nguyên hàm

Đặt \(\sqrt[12]{x}=t\Rightarrow x=t^{12}\Rightarrow dx=12t^{11}dt\)

\(I=\int\dfrac{12t^{11}dt}{t^8-t^9}=\int\dfrac{12t^{11}dt}{t^8\left(1-t\right)}=\int\dfrac{12t^3dt}{1-t}\)

\(=-12\int\left(t^2+t+1+\dfrac{1}{t-1}\right)dt\)

\(=-12\left(\dfrac{t^3}{3}+\dfrac{t^2}{2}+t+ln\left|t-1\right|\right)+C\)

\(=-12\sqrt[4]{x}-6\sqrt[6]{x}-12\sqrt[12]{x}-12ln\left|\sqrt[12]{x}-1\right|+C\)

\(\int\left(cos^3x-1\right)cos^2xdx=\int\left(cos^5x-cos^2x\right)dx\)

\(=\int cos^4x.cosxdx-\int\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}cos2x\right)dx\)

\(=\int\left(1-sin^2x\right)^2.d\left(sinx\right)-\int\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}cos2x\right)dx\)

\(=\int\left(sin^4x-2sin^2x+1\right)d\left(sinx\right)-\int\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}cos2x\right)dx\)

\(=\dfrac{sin^5x}{5}-\dfrac{2sin^3x}{3}+sinx-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}sin2x+C\)

\(\dfrac{x^2-4x+2}{x^2+2x-3}\)

\(=\dfrac{x^2+2x-3-6x-5}{x^2+2x-3}\)

\(=1-\dfrac{6x+5}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}\)

Đặt \(\dfrac{6x+5}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}=\dfrac{A}{x+3}+\dfrac{B}{x-1}\)

=>\(6x+5=A\left(x-1\right)+B\left(x+3\right)\)

=>\(6x+5=x\left(A+B\right)-A+3B\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}A+B=6\\-A+3B=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}B=\dfrac{11}{4}\\A=6-\dfrac{11}{4}=\dfrac{13}{4}\end{matrix}\right.\)

vậy: \(\dfrac{x^2-4x+2}{x^2+2x-3}=1-\dfrac{13}{4x+12}-\dfrac{11}{4x-4}\)

\(\int\dfrac{x^2-4x+2}{x^2+2x-3}dx=\int1-\dfrac{13}{4x+12}-\dfrac{11}{4x-4}dx\)

\(=x-\dfrac{13}{4}\cdot ln\left|x+3\right|-\dfrac{11}{4}\cdot ln\left|x-1\right|\)

\(\int\left(3x^2-2x-4\right)dx=x^3-x^2-4x+C\)

\(\int\left(sin3x-cos4x\right)dx=-\dfrac{1}{3}cos3x-\dfrac{1}{4}sin4x+C\)

\(\int\left(e^{-3x}-4^x\right)dx=-\dfrac{1}{3}e^{-3x}-\dfrac{4^x}{ln4}+C\)

d. \(I=\int lnxdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow u=x.lnx-\int dx=x.lnx-x+C\)

e. Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=x.e^x-\int e^xdx=x.e^x-e^x+C\)

f.

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+1\\dv=sinxdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=-cosx\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=-\left(x+1\right)cosx+\int cosxdx=-\left(x+1\right)cosx+sinx+C\)

g.

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=\dfrac{1}{2}x^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}x^2.lnx-\dfrac{1}{2}\int xdx=\dfrac{1}{2}x^2.lnx-\dfrac{1}{4}x^2+C\)

\(\int\dfrac{x+1}{x^2+2x+2}dx=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x+2}{x^2+2x+2}dx=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d\left(x^2+2x+2\right)}{x^2+2x+2}\)

\(=\dfrac{1}{2}ln\left(x^2+2x+2\right)+C\)

Để tìm nguyên hàm của y=x+1/x²+2x+2, ta cần xác định giá trị của hàm tại một điểm nào đó.

Giá trị của hàm tại điểm nhân nguyên tố nhất là một phương án đáng tin cậy.

Trong trường hợp này, ta chọn điểm nhân nguyên tố nhất là 3.

Để tính giá trị của hàm tại điểm 3, ta đặt x=3 vào hàm y=x+1/x²+2x+2:

y=3+1/3²+2(3)+2

Ta tiến hành tính toán:

y=3+1/9+6+2

y=3+1/9+12+2

y=3+11/9+2

y=3+12/9

y=3+4/3

y=3+4

y=7

Như vậy, giá trị của hàm tại điểm 3 là 7. Do đó, nguyên hàm của y=x+1/x²+2x+2 là y=7.

Tóm lại, để tìm nguyên hàm của y=x+1/x²+2x+2, ta đã tìm được rằng giá trị của hàm tại điểm 3 là 7, do đó, nguyên hàm của y=x+1/x²+2x+2 là y=7.

\(\int\dfrac{lny}{y}dy=\int lny.d\left(lny\right)=\dfrac{ln^2y}{2}+C\)

\(=\int\left(6x^2-\dfrac{4}{x}+sin3x-cos4x+e^{2x+1}+9^{x-1}+\dfrac{1}{cos^2x}-\dfrac{1}{sin^2x}\right)dx\)

\(=2x^3-4ln\left|x\right|-\dfrac{1}{3}cos3x-\dfrac{1}{4}sin4x+\dfrac{1}{2}e^{2x+1}+\dfrac{9^{x-1}}{ln9}+tanx+cotx+C\)

Ta có: \(\int\dfrac{xdx}{x^2+3}\)

Đặt \(u=x^2+3\left(u>0\right)\) 

Có \(du=2xdx\)

\(\Rightarrow\int\dfrac{xdx}{x^2+3}=\)\(\int\dfrac{du}{2u}=\dfrac{1}{2}ln\left(u\right)=\dfrac{1}{2}ln\left(x^2+3\right)\)

(2*x)/1 -x = 0

\(\int\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2x}dx=\int\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\right)dx\)

\(=ln\left|x\right|-ln\left|x-1\right|-\dfrac{1}{x-1}+C\)

\(=ln\left|\dfrac{x}{x-1}\right|-\dfrac{1}{x-1}+C\)