Những câu hỏi liên quan
NH
Xem chi tiết
H24
2 tháng 4 2017 lúc 8:32

Thay abc = 2 vào biểu thức A ta được:

\(A=\dfrac{a}{ab+a+abc}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{abc\cdot c}{ac+abc+abc}\\ A=\dfrac{1}{b+1+bc}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{bc}{1+bc+b}\\ A=\dfrac{1+b+bc}{1+b+bc}\\ A=1\)

Bình luận (1)
LN
Xem chi tiết
TH
20 tháng 12 2018 lúc 11:04

Bài 2:

a) \(A=\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab}\)

\(A=\dfrac{a^3}{abc}+\dfrac{b^3}{abc}+\dfrac{c^3}{abc}\)

\(A=\dfrac{1}{abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

\(A=\dfrac{1}{abc}\left[\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3\right]\)

\(a+b+c=0\)

Nên a + b = -c (1)

Thay (1) vào A, ta được:

\(A=\dfrac{1}{abc}\left[\left(-c\right)^3-3ab\left(-c\right)+c^3\right]\)

\(A=\dfrac{1}{abc}.3abc\)

\(A=3\)

b) \(B=\dfrac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\dfrac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\dfrac{c^2}{c^2-a^2-b^2}\)

\(B=\dfrac{a^2}{a^2-\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{b^2-\left(c^2+a^2\right)}+\dfrac{c^2}{c^2-\left(a^2+b^2\right)}\)

\(a+b+c=0\)

Nên b + c = -a

=> ( b + c )2 = (-a)2

=> b2 + c2 + 2bc = a2

=> b2 + c2 = a2 - 2bc (1)

Tương tự ta có: c2 + a2 = b2 - 2ac (2)

a2 + b2 = c - 2ab (3)

Thay (1), (2) và (3) vào B, ta được:

\(B=\dfrac{a^2}{a^2-\left(a^2-2bc\right)}+\dfrac{b^2}{b^2-\left(b^2-2ac\right)}+\dfrac{c^2}{c^2-\left(c^2-2ab\right)}\)

\(B=\dfrac{a^2}{a^2-a^2+2bc}+\dfrac{b^2}{b^2-b^2+2ac}+\dfrac{c^2}{c^2-c^2+2ab}\)

\(B=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ac}+\dfrac{c^2}{2ab}\)

\(B=\dfrac{a^3}{2abc}+\dfrac{b^3}{2abc}+\dfrac{c^3}{2abc}\)

\(B=\dfrac{1}{2abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

\(a^3+b^3+c^3=3abc\) ( câu a )

\(\Rightarrow B=\dfrac{1}{2abc}.3abc\)

\(\Rightarrow B=\dfrac{3}{2}\)

Bình luận (0)
TH
20 tháng 12 2018 lúc 10:54

Bài 1:

a) GT: abc = 2

\(M=\dfrac{a}{ab+a+2}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{2c}{ac+2c+2}\)

\(M=\dfrac{a}{ab+a+abc}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{2cb}{abc+2cb+2b}\)

\(M=\dfrac{a}{a\left(b+1+bc\right)}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{2cb}{2+2cb+2b}\)

\(M=\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{2cb}{2\left(1+cb+b\right)}\)

\(M=\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{bc}{bc+b+1}\)

\(M=\dfrac{1+b+bc}{bc+b+1}\)

\(M=1\)

b) GT: abc = 1

\(N=\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ac+c+1}\)

\(N=\dfrac{a}{ab+a+abc}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{cb}{b\left(ac+c+1\right)}\)

\(N=\dfrac{a}{a\left(b+1+bc\right)}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{bc}{abc+bc+b}\)

\(N=\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{bc}{bc+b+1}\)

\(N=\dfrac{1+b+bc}{bc+b+1}\)

\(N=1\)

Bình luận (0)
H24
Xem chi tiết
NL
30 tháng 12 2021 lúc 22:13

\(\dfrac{a}{ab+a+2}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{2c}{ac+2c+2}\)

\(=\dfrac{a}{ab+a+2}+\dfrac{ab}{abc+ab+a}+\dfrac{2c}{ac+2c+abc}\)

\(=\dfrac{a}{ab+a+2}+\dfrac{ab}{2+ab+a}+\dfrac{2}{a+2+ab}\)

\(=\dfrac{ab+a+2}{ab+a+2}=1\)

Bình luận (0)
DD
Xem chi tiết
MP
8 tháng 10 2018 lúc 20:40

ta có : \(A=\dfrac{a}{ab+a+2}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{2c}{ac+2c+2}\)

\(=\dfrac{a}{abc+ab+a}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{abc^2}{abc^2+abc+ac}\)

\(=\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{bc}{bc+b+1}\) \(=\dfrac{bc+b+1}{bc+b+1}=1\) (sữa đề)

Bình luận (0)
CT
Xem chi tiết
KT
23 tháng 12 2017 lúc 21:52

\(\frac{a}{ab+a+2}\)\(\frac{b}{bc+b+1}\)\(\frac{2c}{ac+2c+2}\)

\(\frac{a}{ab+a+2}\)\(\frac{ab}{a\left(bc+b+1\right)}\)\(\frac{2abc}{ab\left(ac+2c+2\right)}\)

\(\frac{a}{ab+a+2}\)\(\frac{ab}{abc+ab+a}\)\(\frac{2abc}{a^2bc+2abc+2ab}\)

\(\frac{a}{ab+a+2}\)\(\frac{ab}{ab+a+2}\)\(\frac{2}{ab+a+2}\)   (vì  abc = 2  )

\(\frac{ab+a+2}{ab+a+2}\)= 1

Bình luận (0)
CT
25 tháng 12 2017 lúc 14:09

tại sao lại nhân vs a và ab z bn

Bình luận (0)
DM
24 tháng 5 2018 lúc 19:44

bn ý nhân cả tử và mẫu vs cùng 1 số

Bình luận (0)
PN
Xem chi tiết
BH
26 tháng 1 2022 lúc 21:37

nhân cả vế với abc ta có điều cần chứng minh

\(\dfrac{\left(bc\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(ac\right)^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{c\left(a+b\right)}\ge\dfrac{ab+bc+ac}{2}\)

VT\(\ge\)\(\dfrac{\left(bc+ac+ab\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\dfrac{bc+ac+ab}{2}\)

=>(đpcm)

mấu chốt nằm ở đoạn chứng minh\(\dfrac{\left(bc\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(ac\right)^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{c\left(a+b\right)}\) 

chỉ cần chứng minh được \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\)sau đó áp dụng để chứng minh cái kia thôi cái này bạn thử tự chứng minh nhé

 

 

Bình luận (0)
BH
26 tháng 1 2022 lúc 21:36

nhân cả vế với abc ta có điều cần chứng minh

\(\dfrac{\left(bc\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(ac\right)^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{c\left(a+b\right)}\ge\dfrac{ab+bc+ac}{2}\)

VT\(\ge\)\(\dfrac{\left(bc+ac+ab\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\dfrac{bc+ac+ab}{2}\)

=>(đpcm)

mấu chốt nằm ở đoạn chứng minh\(\dfrac{\left(bc\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(ac\right)^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{\left(ab\right)}{c\left(a+b\right)}\ge\dfrac{ab+bc+ac}{2}\)

chỉ cần chứng minh được\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+x}\)sau đó áp dụng để chứng minh cái kia thôi cái này bạn thử tự chứng minh nhé.

 

 
Bình luận (0)
BH
26 tháng 1 2022 lúc 21:37

 

 

Bình luận (0)
TL
Xem chi tiết
NM
3 tháng 12 2021 lúc 22:10

\(a,A=\dfrac{-3\left(2n-3\right)-8}{2n-3}=-3-\dfrac{8}{2n-3}\in Z\\ \Leftrightarrow2n-3\inƯ\left(8\right)=\left\{-8;-4;-2;-1;1;2;4;8\right\}\\ \Leftrightarrow n\in\left\{1;2\right\}\left(n\in Z\right)\)

\(b,\dfrac{ab}{a+2b}=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\dfrac{a+2b}{ab}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{a}=\dfrac{2}{3}\\ \dfrac{bc}{b+2c}=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow\dfrac{b+2c}{bc}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{b}=\dfrac{3}{4}\\ \dfrac{ca}{c+2a}=3\Leftrightarrow\dfrac{c+2a}{ca}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{c}=\dfrac{1}{3}\)

Cộng vế theo vế \(\Leftrightarrow\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{4}\)

\(\Leftrightarrow3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{7}{4}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{7}{12}\\ \Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ca}{abc}=\dfrac{7}{12}\\ \Leftrightarrow T=\dfrac{12}{7}\)

Bình luận (0)
NN
Xem chi tiết
LP
20 tháng 8 2023 lúc 10:53

Ta có \(ab+bc+ca=3abc\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)

Đặt \(x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{1}{b},z=\dfrac{1}{c}\) thì ta có \(x,y,z>0;x+y+z=3\) và 

\(\sqrt{\dfrac{a}{3b^2c^2+abc}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{x}}{3.\dfrac{1}{y^2z^2}+\dfrac{1}{xyz}}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{3x+yz}{xy^2z^2}}}=\sqrt{\dfrac{y^2z^2}{3x+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{3x+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

Do đó \(T=\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{zx}{\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\dfrac{xy}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)

Lại có \(\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{yz}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{2\left(x+z\right)}\)

Lập 2 BĐT tương tự rồi cộng theo vế, ta được \(T\le\dfrac{yz}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{2\left(x+z\right)}+\dfrac{zx}{2\left(y+z\right)}+\dfrac{zx}{2\left(y+x\right)}\) \(+\dfrac{xy}{2\left(z+x\right)}+\dfrac{xy}{2\left(z+y\right)}\)

\(T\le\dfrac{yz+zx}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{xy+zx}{2\left(y+z\right)}+\dfrac{xy+yz}{2\left(z+x\right)}\)

\(T\le\dfrac{x+y+z}{2}\) (do \(x+y+z=3\))

\(T\le\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Vậy \(maxT=\dfrac{3}{2}\), xảy ra khi \(a=b=c=1\)

 (Mình muốn gửi lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Đức Trí vì ý tưởng của bài này chính là bài mình vừa hỏi lúc nãy trên diễn đàn. Cảm ơn bạn Trí rất nhiều vì đã giúp mình có được lời giải này.)

Bình luận (0)
NT
20 tháng 8 2023 lúc 13:58

 Bạn Lê Song Phương xem lại dùm nhé, thanks!

\(...\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}\)

\(...\Rightarrow T\le2.3=6\)

\(\Rightarrow GTLN\left(T\right)=6\left(tạia=b=c=1\right)\)

Bình luận (0)
LP
20 tháng 8 2023 lúc 16:39

 Lúc mình đọc lời giải kia của bạn thì mình thấy cũng hợp lí nhưng mà Cô-si hơi nhầm tí ở chỗ \(\dfrac{1}{z+x}+\dfrac{1}{z+y}\ge\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\) ấy.

 

 Nên là mình cũng dựa trên ý tưởng của bạn nhưng sửa \(\dfrac{1}{2}\) thành 2 thì mới đúng được

 Không thì bạn cứ kiểm tra bằng cách thay điểm rơi \(a=b=c=1\) vào T thì nó ra \(\dfrac{3}{2}\) ngay chứ không ra 6 đâu.

Bình luận (0)
HH
Xem chi tiết
NL
24 tháng 12 2022 lúc 19:53

\(A=\dfrac{x-4+5}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)+5}{\sqrt{x}-2}=\sqrt{x}+2+\dfrac{5}{\sqrt{x}-2}\)

\(=\sqrt{x}-2+\dfrac{5}{\sqrt{x}-2}+4\ge2\sqrt{\dfrac{5\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}}+4=4+2\sqrt{5}\)

\(A_{min}=4+2\sqrt{5}\) khi \(9+4\sqrt{5}\)

b.

Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{l}{z}\right)\Rightarrow xyz=1\)

\(B=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\dfrac{3}{2}\)

\(B_{min}=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\Rightarrow a=b=c=1\)

Bình luận (2)