Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là \(x^2=2x-m\Leftrightarrow x^2-2x+m=0\) (*)

Pt (*) có \(\Delta'=\left(-1\right)^2-1.m=1-m\)

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt \(x_1,x_2\) thì pt (*) phải có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) \(\Leftrightarrow\Delta'>0\Leftrightarrow1-m>0\Leftrightarrow m< 1\)

Khi \(m< 1\), áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}y_1=x_1^2\\y_2=x_2^2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow y_1+y_2=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=2^2-2m=4-2m\)

Do đó để \(y_1+y_2+x_1^2x_2^2=6\left(x_1+x_2\right)\)\(\Leftrightarrow4-2m+m^2=6.2\)\(\Leftrightarrow m^2-2m-8=0\) (1)

pt (1) có \(\Delta'=\left(-1\right)^2-1.\left(-8\right)=9>0\)

Vậy (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{-\left(-1\right)+\sqrt{9}}{1}=4\\m_2=\dfrac{-\left(-1\right)-\sqrt{9}}{1}=-2\end{matrix}\right.\)

Như vậy để (d) cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ và tung độ thỏa mãn yêu cầu đề bài thì \(\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=-2\end{matrix}\right.\)

Mà do \(m< 1\) nên ta chỉ nhận trường hợp \(m=-2\)

Vậy để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ và tung độ thỏa mãn đề bài thì \(m=-2\)

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left(d\right)$ và $\left(P\right)$ là:

$x^2=2x-m\iff x^2-2x+m=0$ (1)

Ta có: ${\Delta }^{{}^{}}=1-m$.

Điều kiện để $\left(d\right)$ cắt $\left(P\right)$ tại hai điểm phân biệt là phương trình hoành độ giao điểm của $\left(d\right)$ và $\left(P\right)$ có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra $1-m>0\iff m<1$ (*).

Khi đó $x_1$, $x_2$ là các hoành độ giao điểm của $\left(d\right)$ và $\left(P\right)$ nên $x_1$, $x_2$ là các nghiệm của phương trình hoành độ của $\left(d\right)$ và $\left(P\right)$.

Theo hệ thức Vi-et ta có: 

1. Thay x = 1 ; y = 4 vào đồ thị hàm số (P)

\(\Rightarrow4=1^2=1\) ( vô lí )

=> A ( \(1;4\) ) không thuộc đồ thị hàm số (P)

2) (d) đi qua A ( 1; 4 ) và có hệ số góc bằng k

=> 4 = k . 1

=> k = 4

=> Phương trình đường thẳng (d) là

y = 4x

a ) Với k = 2 , ta có (d) : y= 2x

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là

\(x^2=2x\Rightarrow x^2-2x=0\Rightarrow x\left(x-2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=2x=0\\x=2\Rightarrow y=2x=4\end{matrix}\right.\)

Vậy giao điểm của (d) và (P) là các điểm có tọa độ (0;0 ) và ( 2;4 )

b ) Ta có (d) : y = kx , luôn đi qua gốc tọa độ

(P) y = \(x^2\) luôn đi qua gốc tọa độ

=> Với mọi giá trị của k , đường thẳng (d) luôn cắt (P) y = x^2 ( tại gốc tọa độ )

1. Thay x = 1 ; y = 4 vào đồ thị hàm số (P)

( vô lí )

=> A ( ) không thuộc đồ thị hàm số (P)

2) (d) đi qua A ( 1; 4 ) và có hệ số góc bằng k

=> 4 = k . 1

=> k = 4

=> Phương trình đường thẳng (d) là

y = 4x

a ) Với k = 2 , ta có (d) : y= 2x

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là

Vậy giao điểm của (d) và (P) là các điểm có tọa độ (0;0 ) và ( 2;4 )

b ) Ta có (d) : y = kx , luôn đi qua gốc tọa độ

(P) y = luôn đi qua gốc tọa độ

=> Với mọi giá trị của k , đường thẳng (d) luôn cắt (P) y = x^2 ( tại gốc tọa độ )

1. Thay x = 1 ; y = 4 vào đồ thị hàm số (P)

( vô lí )

=> A ( ) không thuộc đồ thị hàm số (P)

2) (d) đi qua A ( 1; 4 ) và có hệ số góc bằng k

=> 4 = k . 1

=> k = 4

=> Phương trình đường thẳng (d) là

y = 4x

a ) Với k = 2 , ta có (d) : y= 2x

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là

Vậy giao điểm của (d) và (P) là các điểm có tọa độ (0;0 ) và ( 2;4 )

b ) Ta có (d) : y = kx , luôn đi qua gốc tọa độ

(P) y = luôn đi qua gốc tọa độ

=> Với mọi giá trị của k , đường thẳng (d) luôn cắt (P) y = x^2 ( tại gốc tọa độ )

a) Đồ thị \(y = {x^2} - 3x + 2\)

- Có đỉnh là điểm \(I\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{4}} \right)\), có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{3}{2}\)

- \(a = 1 > 0\), quay bề lõm lên trên

- Đi qua điểm (0;2);(1;0)

b) Đồ thị \(y =  - 2{x^2} + 2x + 3\)

- Có đỉnh là điểm \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{7}{2}} \right)\), có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{1}{2}\)

- \(a =  - 2 < 0\), quay bề lõm xuống dưới

- Đi qua điểm (0;3);(1;3)

c) Đồ thị\(y = {x^2} + 2x + 1\)

- Có đỉnh là điểm \(I( - 1;0)\), có trục đối xứng là đường thẳng \(x =  - 1\)

- \(a = 1 > 0\), quay bề lõm lên trên

- Đi qua điểm (0;1); (1;4)

d) Đồ thị \(y =  - {x^2} + x - 1\)

- Có đỉnh là điểm \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{{ - 3}}{4}} \right)\), có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{1}{2}\)

- \(a =  - 1 < 0\), quay bề lõm xuống dưới

- Đi qua điểm (0;-1); (1;-1)

\(1.pt:x^2-4x+m-3=0\)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4.1.\left(m-3\right)=28-4m\)

Để pt trên có nghiệm thì \(28-4m\ge0\Leftrightarrow-4m\ge-28\Leftrightarrow m\le7\)

Với các giá trị \(m\le7\) thì pt trên có nghiệm ( có nghiệm kép hoặc 2 nghiệm phân biệt)

\(2.\left\{{}\begin{matrix}\left(P\right):y=\frac{1}{2}x^2\\\left(d\right):y=2x-m\end{matrix}\right.\)

Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hpt:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=\frac{1}{2}x^2\\y=2x-m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\frac{1}{2}x^2-2x+m=0\left(\alpha\right)\)

Xét \(pt\left(\alpha\right):\Delta=\left(-2\right)^2-\frac{4.1}{2}.m=4-2m\)

a. Để \(\left(P\right)tx\left(d\right)\) thì \(\Delta=0\Leftrightarrow4-2m=0\Leftrightarrow m=2\)

b. Để (P) cắt (d) tại 2 điểm phần biệt thì \(\Delta>0\Leftrightarrow4-2m>0\Leftrightarrow m< 2\)

c. Để (P) và (d) không có điểm chung thì \(\Delta< 0\Leftrightarrow4-2m< 0\Leftrightarrow m>2\)

Chọn D.

Hoành độ giao điểm của (P) và ( C) là nghiệm của   3 x 2   =   4 - x 2   <=> x = 1 hoặc x = -1 

Khi đó, diện tích cần tính là H = 2x ( ∫ 0 1 4 - x 2 d x   -   ∫ 0 1 3 x 2 d x ) = 2 π   +   3 3