Đáp án B

Ta có log(x + 2y) = log x + log y

<=> log 2 (x+2y) = log 2xy

<=> 2 (x+2y) = 2xy (*).

Đ ặ t   a = x > 0 b = 2 y > 0 , khi đó

* ⇔ 2 a + b = a b

và  P = a 2 1 + b + b 2 1 + a ≥ a + b 2 a + b + 2

Lại có  a b ≤ a + b 2 4 ⇒ 2 a + b ≤ a + b 2 4 ⇔ a + b ≥ 8 .

Đặt t = a + b, do đó

P ≥ f t = t 2 t + 2 .

X é t   h à m   s ố   f t = t 2 t + 2 t r ê n   [ 8 ; + ∞ )

c ó   f ' t = t 2 + 2 t t + 2 2 > 0 ; ∀ ≥ 8

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên  [ 8 ; + ∞ )

Vậy gía trị nhỏ nhất của biểu thức P là  32 5 .

Đáp án D

⇔ log   z - 1 log   z = 1 1 - log   x

⇔ 1 - log   x = log   z log   z - 1

⇔ log   x = - 1 log   z - 1 ⇔ x = 10 1 1 - log   z .

Đáp án D

Điều kiện 40 < x < 60

Vậy x cần tìm theo yêu cầu đề là các số nguyên dương chạy từ 41 đến 59; trừ giá trị 50. Có tất cả 18 giá trị thỏa mãn.

Chọn A.

Dễ thấy u_n là cấp số nhân với q = 10

Ta có: u₈ = 10⁷u₁; u₁₀ = 10⁹u₁

Do đó PT 

Giải PT ta được logu₁ = -17 ⇔ u₁ = 10^-17 ⇒ u₂₀₁₈ = 10²⁰¹⁷ u₁ = 10²⁰⁰⁰ 

Đáp án C

Trắc nghiệm rất lẹ (chắc vài giây), còn tự luận hơi lâu:

Hiển nhiên chỉ cần xét với \(x>2\) (vì vế trái luôn dương). Chú ý rằng \(a^{logx}=x^{loga}\)

Với \(a=10\Rightarrow x+2=x-2\) vô nghiệm (ktm)

- Trắc nghiệm: với \(a>10\Rightarrow\left(x^{loga}+2\right)^{loga}>x+2>x-2\) pt vô nghiệm

Với \(a< 10\) chọn 2 giá trị a=2 và a=9 để kiểm tra hàm \(\left(x^{loga}+2\right)^{loga}-x+2\) thấy đều đổi dấu ở chế độ table \(\Rightarrow a=\left\{2;3;...;9\right\}\) có 8 giá trị nguyên

- Tự luận: xét với \(x>2\), đặt \(loga=m>0\) pt trở thành: \(\left(x^m+2\right)^m=x-2\)

Đặt \(x^m+2=t\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^m=t-2\\t^m=x-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^m-t^m=t-x\Rightarrow x^m+x=t^m+t\) (1)

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^m+x\Rightarrow f'\left(x\right)=mx^{m-1}+1>0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến

Do đó \(\left(1\right)\Rightarrow x=t\Rightarrow x^m=x-2\Rightarrow x^m-x+2=0\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^m-x+2\)

- Với \(m>1\Rightarrow f'\left(x\right)=m.x^{m-1}-1>1-1\ge0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow f\left(x\right)>f\left(2\right)=2^m-2+2=2^m>0\Rightarrow f\left(x\right)\) vô nghiệm (ktm)

- Với \(0< m< 1\) ta có:

\(f\left(2\right)=2^m>0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^m-x+2\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x\left(x^{m-1}-1+\dfrac{2}{x}\right)\)

Chú ý rằng \(m< 1\Rightarrow x^{m-1}=\dfrac{1}{x^{1-m}}\rightarrow0\) khi \(x\rightarrow+\infty\Rightarrow x^{m-1}-1+\dfrac{2}{x}\rightarrow-1\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^m-x+2\right)=-\infty\)

\(\Rightarrow f\left(2\right).\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thỏa mãn \(x>2\)

Vậy \(0< m< 1\) hay \(0< loga< 1\Rightarrow2\le a< 10\Rightarrow a=\left\{2;3;...;9\right\}\)