a) chứng minh \(\Delta ABC=\Delta ADC\)

xét 2 tam giác vuông ABC và ADC:

có AC: cạnh chung

AD=AB (gia thiết) 

=> \(\Delta ABC=\Delta ADC\) (2cgv)

b) chứng minh DC//BE

xét tứ giác BEDC có 2 đường chéo BD và EC cắt nhau tại trung điểm A của mỗi đường => tứ giác BEDC là hình bình hành => DC//BE

c) chứng minh BE = 2AI

ta có BEDC là hình bình hành => BE=DC

lại có tam giác DAC vuông tại A => đường trung tuyến AI bằng một nửa cạnh huyền, tức là \(AI=\dfrac{1}{2}DC\) hay \(DC=2.AI\) hay \(BE=2.AI\)

chúc em học tốt

Cậu tự vẽ hình nhé.

a,  Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A và \(\Delta ADC\) vuông tại A có:

                       AB = AD(gt)

                       AC chung 

          \(\Rightarrow\Delta ABC=\Delta ADC\left(ch-cgv\right)\)

b, Ta có \(DB\perp EC\) tại \(A\)

 mà \(DA=AB\left(gt\right)\)

        \(AE=AC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác DCBE là hình thoi ( 2 đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường )

\(\Rightarrow DC//BE\) ( tính chất hình thoi )

c,   Xét \(\Delta DAC\) vuông tại A có:

      I là trung điểm của DC 

 \(\Rightarrow AI=DI=IC=\dfrac{1}{2}DC\)

\(\Rightarrow2AI=DC\) 

Lại có DC = EB ( DCBE là hình thoi )

\(\Rightarrow2AI=BE\)

 Hình vẽ của mình đây

Xét ΔABC có \(\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{2}{3}\)

nên \(S_{AFC}=\dfrac{2}{3}\cdot S_{ABC}=\dfrac{2}{3}\cdot18=12\left(cm^2\right)\)

Xét ΔAFC có \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{1}{2}\)

nên ED//FC

Xét ΔAFC có ED//FC

nên \(\dfrac{ED}{FC}=\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{1}{2}\)

Xét ΔAFC có ED//FC

nên ΔAED đồng dạng với ΔAFC

=>\(\dfrac{S_{AED}}{S_{AFC}}=\left(\dfrac{ED}{FC}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

=>\(S_{AED}=\dfrac{1}{4}\cdot S_{AFC}=3\left(cm^2\right)\)

\(S_{AED}+S_{EDCF}=S_{AFC}\)

=>\(S_{EDCF}=S_{AFC}-S_{AED}=9\left(cm^2\right)\)

Xét t/g ABC và t/g ADE có:

góc BAC = góc EAD = 90 độ

AB = AD (gt)

AC = AE (gt)

Do đó t/g ABC = t/g ADE (2 cạnh góc vuông)

=> BC = DE

Lấy M là trung điểm của DB

=>AD=DM=MB=1/3AB

Xét ΔAMC có AD/AM=AE/AC

nên ΔADE đồng dạng với ΔAMC

=>\(\dfrac{S_{ADE}}{S_{AMC}}=\left(\dfrac{AE}{AC}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

=>\(S_{AMC}=40\left(cm^2\right)\)

AM=2/3AB

=>\(S_{ABC}=\dfrac{3}{2}\cdot S_{AMC}=60\left(cm^2\right)\)

a: Xét ΔCBD có 

CA là đường trung tuyến

CE=2/3CA

Do đó: E là trọng tâm của ΔCBD

b: Vì E là trọng tâm của ΔCBD

nên BE là đường trung tuyến ứng với cạnh DC

mà M là trung điểm của DC

nên B,E,M thẳng hàng