b: (3x-2)^5+(5-x)^5+(-2x-3)^5=0

Đặt a=3x-2; b=-2x-3

Pt sẽ trở thành:

a^5+b^5-(a+b)^5=0

=>a^5+b^5-(a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5)=0

=>-5a^4b-10a^3b^2-10a^2b^3-5ab^4=0

=>-5a^4b-5ab^4-10a^3b^2-10a^2b^3=0

=>-5ab(a^3+b^3)-10a^2b^2(a+b)=0

=>-5ab(a+b)(a^2-ab+b^2)-10a^2b^2(a+b)=0

=>-5ab(a+b)(a^2-ab+b^2+2ab)=0

=>-5ab(a+b)(a^2+b^2+ab)=0

=>ab(a+b)=0

=>(3x-2)(-2x-3)(5-x)=0

=>\(x\in\left\{\dfrac{2}{3};-\dfrac{3}{2};5\right\}\)

Ta có:

\(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow a+b=-c\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^5=-c^5\)

\(\Rightarrow a^5+5a^4b+10a^3b+10a^2b^3+5ab^4+b^5=-c^5\)

\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=5ab\left(a^3+b^3+2a^2b+2ab^2\right)\)

\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=5ab\left[\left(a^3+b^3\right)+2ab\left(a+b\right)\right]\)

\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=5ab\left[\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+2ab\left(a+b\right)\right]\)

\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=5ab\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=-5abc\left(a^2+ab+b^2\right)\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Đề bài bị sai, ví dụ với \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;3\right)\) thì \(\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)\) chia hết cho 5 nhưng \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\) ko chia hết cho 5

jHcydzgbzxbh. Ggvbgff,hb

csv

Ta thấy chỉ có \(a=b=c=1\) thỏa mãn điều kiện mà đề bài cho 

\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=3\)

Ta có : \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)

Vì \(a-2,a-1,a,a+1,a+2\) là 5 số nguyên liên tiếp nên h của chúng chia hết cho 5 và chia hết cho 2

\(=>a^5-a⋮5\)(1)

Mà a-1 và a+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên h chúng chia hết cho 2 

\(a^5-a⋮2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(a^5-a⋮30\)

Tương tự ta có : \(b^5-b⋮30;c^5-c⋮30\)

\(=>a^5+b^5+c^5-\left(a+b+c\right)⋮30\)

Mà \(a+b+c=2020⋮30\) nên \(a^5+b^5+c^5⋮30\)