Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy

Các bạn ơi giúp mình với ạ, cảm ơn nhiều!

dong y quan diem @aliba

bo xung them. nhieu qua khi tra loi phan cau hoi troi len khoi man hinh =>" ko nhin duoc de bai"

(da khong biet lai con luoi dang cau hoi nua)

bài này hình như trong đề thi hsg tỉnh thanh hóa 2013-2014 hoặc 2012-2013  lên mạng tra đáp án nha

\(x^2+xy+y^2=\left(x+y\right)^2-xy\ge\left(x+y\right)^2-\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2=\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)\)

Vậy:

\(P\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{1+4xy}+\frac{\left(y+z\right)^2}{1+4yz}+\frac{\left(z+x\right)^2}{1+4zx}\right]\)

\(P\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\frac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{3+4\left(xy+yz+zx\right)}\right]\ge\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{9}{3+\frac{4}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

Ta có:

\(\left(x+y+1\right)xy=x^2+y^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow0\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le4\)

Ta lại có:

\(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{xy}+\frac{1}{y^2}\right)=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\le16\)

PS: Sửa đề tìm max nhé

\(P=\frac{x\left(x+y+z\right)+yz}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)+zx}{z+x}+\frac{z\left(x+y+z\right)+xy}{x+y}\)

\(P=\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{y+z}+\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{z+x}+\frac{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{x+y}\)

\(P\ge\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)=2\left(x+y+z\right)=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)