\(VT=a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\)

\(=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\)

\(\ge2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\ge2.3abc=6abc\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)

a²(1+b²)\(\ge\)2a²b;b²(1+c²)\(\ge\)2b²c;c²(1+a²)\(\ge\)2ac² (cô -si 2 số)

VT\(\ge\)2(a²b+b²c+ac²)\(\ge\)2..\(3\sqrt[3]{a^2b.ac^2.b^2c}=2.3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=6abc\)

Dấu "="xảy ra <->a=b=c

\(a^2\left(1+b^2\right)+b\left(1+c^2\right)+c\left(1+a^2\right)\)=\(a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\)

ta có \(a^2;b^2;c^2;a^2b^2;b^2c^2;c^2a^2\ge0\)áp dụng bất đẳng thức cói 6 số với các số dương trên ta có \(a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)\(\ge6\sqrt[6]{a^2.b^2.c^2.a^2b^2.b^2c^2.c^2a^2}\)\(=6\sqrt[6]{a^6.b^6.c^6}\)\(=6\sqrt[6]{\left(abc\right)^6}=6abc\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=ab=bc=ca =1 hoặc=0

Ta có : \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2abc+b^2c^2\right)+\left(b^2-2abc+a^2c^2\right)+\left(c^2-2abc+a^2b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-bc\right)^2+\left(b-ac\right)^2+\left(c-ab\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu được chứng minh

+ \(c^2+1\ge2c\) \(\forall c\)

\(\Rightarrow a^2\left(c^2+1\right)\ge2a^2c\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow c=1\)

+ Tương tự ta có :

\(c^2\left(b^2+1\right)\ge2bc^2\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\)

\(b^2\left(a^2+1\right)\ge2ab^2\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)

do đó : \(a^2\left(c^2+1\right)+c^2\left(b^2+1\right)+b^2\left(a^2+1\right)\)

\(\ge2\left(a^2c+bc^2+ab^2\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số dương \(a^2c;bc^2;ab^2\) ta có :

\(a^2c+bc^2+ab^2\ge3\sqrt[3]{a^2c\cdot bc^2\cdot ab^2}=3abc\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2c=bc^2=ab^2\Leftrightarrow a=b=c\)

Do đó : \(a^2\left(c^2+1\right)+c^2\left(c^2+1\right)+b^2\left(a^2+1\right)\)

\(\ge2\cdot3abc=6abc\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Nghĩ đơn giản ra

VT = a² + c²a² + c² + b²c² + b² + a²b² ≥ \(6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}\) = 6abc

\(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)=a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2.\)

áp dụng bất đẳng thức cô si cho 6 số \(a^2,b^2,c^2,a^2b^2,b^2c^2,a^2c^2\)ta được 

\(a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge6\sqrt[6]{a^2.b^2.c^2.a^2b^2.b^2c^2.a^2c^2}=6\sqrt[6]{a^6.b^6.c^6}=6.abc\)

a²(1+b²) + b²(1+c²) + c²(1+a²) = a² + a²b² + b² + b²c² + c² + a²c²

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 6 số không âm a², a²b², b², b²c², c², a²c² ta được:

a² + a²b² + b² + b²c² + c² + a²c² >= 6\(\sqrt{a^6b^6c^6}\)= 6abc

=> a²(1+b²) + b²(1+c²) + c²(1+a²) >= 6abc

Dấu = xảy ra khi

a²=a²b²=b²=b²c²=c²=a²c² 

a=b=c=+-1

a/ \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)

\(\Leftrightarrow a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2abc+b^2c^2\right)+\left(b^2-2abc+a^2c^2\right)+\left(c^2-2abc+a^2b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-bc\right)^2+\left(b-ac\right)^2+\left(c-ab\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy bđt được chứng minh.

b/ \(a^3+b^3+c^3\ge3.\sqrt[3]{a^3.b^3.c^3}=3abc\)

d/ Đặt \(x=a+b\) , \(y=b+c\) , \(z=c+a\)

thì : \(a=\frac{x+z-y}{2}\) ; \(b=\frac{x+y-z}{2}\) ; \(c=\frac{y+z-x}{2}\)

Ta có : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{\frac{x+z-y}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y-z}{2}}{z}+\frac{\frac{y+z-x}{2}}{x}\)

\(=\frac{z+x-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}+\frac{y+z-x}{2x}=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}-3\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{1}{2}.6-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

b/ \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-2abc+c^2\right)+\left(b^2c^2-2abc+a^2\right)+\left(c^2a^2-2abc+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-c\right)^2+\left(bc-a\right)^2+\left(ca-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy bđt ban đầu dc chứng minh.

c/ \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{a+b}{4}\)

Tương tự : \(\frac{bc}{b+c}\le\frac{b+c}{4}\) ; \(\frac{ac}{a+c}\le\frac{a+c}{4}\)

Cộng theo vế : \(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{a+c}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)