Ta có : \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2abc+b^2c^2\right)+\left(b^2-2abc+a^2c^2\right)+\left(c^2-2abc+a^2b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-bc\right)^2+\left(b-ac\right)^2+\left(c-ab\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu được chứng minh
Chứng minh rằng với mọi a,b,c thì :
\(2\left(1+abc\right)+\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}\ge\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\)
1/ Tìm các số thực không âm a và b thỏa mãn:
\(\left(a^2+b+\frac{3}{4}\right).\left(b^2+a+\frac{3}{4}\right)=\left(2a+\frac{1}{2}\right)\left(2b+\frac{1}{2}\right)\)
2/ Cho a, b là các số thực khác 0. Biết rằng phương trình \(a\left(x-a\right)^2+b\left(x-b\right)^2=0\) có nghiệm duy nhất. Chứng minh \(\left|a\right|=\left|b\right|\)
Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương thì :
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge2\)
Cho a,b,c là 3 số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện: ab+bc+ac=1
Chứng minh: \(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}\) là 1 số hữu tỉ
Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương thì :
\(\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\ge\frac{2}{3}\)
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn : \(a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\) . CMR :
\(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
chứng minh rằng với ba số a, b, c dương thoả mãn a+b+c=1 ta luôn có \(\left(\frac{1}{a}-1\right)\left(\frac{1}{b}-1\right)\left(\frac{1}{c}-1\right)>=8\)
Câu 1
Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)x-3y=-5\\x+my=3\end{matrix}\right.\left(I\right)\) (với m là tham số)
a) Giải hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất với mọi m.Tìm nghiệm duy nhất đó theo m.
Câu 2
Cho Parabol (P): \(y=x^2\) và đường thẳng (d) có phương trình: \(y=2\left(m+1\right)x-3m+2\)
a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) với m=3
b) Chứng minh (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B với mọi m
c) Gọi \(x_1;x_2\) là hoành độ giao điểm A,B. Tìm m để \(x_1^2+x_1^2=20\)
Câu 3 Cho đường tròn (O;R) dây DE < 2R. Trên tia đối DE lấy điểm A, qua A kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O), (B,C là tiếp điểm). Gọi H là trung điểm DE, K là giao điểm của BC và DE.
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
b) Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC. Chứng minh rằng H thuộc đường tròn (I) và HA là phân giác BHC.
c) Chứng minh rằng \(\dfrac{2}{AK}=\dfrac{1}{AD}+\dfrac{1}{AE}.\)
Câu 5
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn:
\(7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+2015\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+c^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}.\)
Đề của Phú Thọ năm 2015-2016 ạ
Các cậu bơi vào đây thảo luận đi
1/ Cho các số thực dương a,b với a khác b. Chứng minh đẳng thức sau:
\(\frac{\frac{\left(a-b\right)^3}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^3}-b\sqrt{b}+2a\sqrt{a}}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\frac{3a+3\sqrt{ab}}{b-a}=0\)
2/ Cho hai số thực a,b sao cho \(\left|a\right|\ne\left|b\right|\) và ab \(\ne\) 0 thỏa mãn điều kiện:
\(\frac{a-b}{a^2+ab}+\frac{a+b}{a^2-ab}=\frac{3a-b}{a^2-b^2}\). Tính giá trị của biểu thức \(P=\frac{a^3+2a^2b+3b^3}{2a^3+ab^2+b^3}\)