a>

\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{100^2}\)=1/4+1/10000

ta có 1/4<1/2(vì 2 đề bài muốn chứng minh tổng đó nhỏ 1 thì chúng ta phải xét xem có bao nhiêu lũy thừa hoặc sht thì ta sẽ lấy 1 : cho số số hạng )

1/100^2<1/2

=>A<1

1/4^2<1/3*4

1/5^2<1/4*5

...

1/100^2<1/99*100

=>A<1/3-1/4+1/4-1/5+...+1/99-1/100

=>A<1/3-1/100<1/3

Đặt \(A=\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{6^2}+...+\dfrac{1}{100^2}\)

Ta có: \(\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{6^2}+...+\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{4.5}+\dfrac{1}{5.6}+...+\dfrac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{100}< \dfrac{1}{4}\) (đpcm)

1/5^2< 1/4.5=1/4-1/5 
1/6^2<1/5.6=1/5-1/6 
.. 
1/99^2<1/98.99=1/98-1/99 
1/100^2<1/99.100=1/99-1/100 
Cộng vế theo vế, đơn giản: 

=> 1/5^2+1/6^2+...+1/100^2< 1/4 -1/100<1/4 

** 
1/5^2> 1/5.6=1/5-1/6 
1/6^2>1/6.7=1/6-1/7 
1/99^2>1/99.100=1/99-1/100 
1/100^2>1/100.101=1/100-1/101 
Cộng vế theo vế, đơn giản: 
=> 1/5^2+1/6^2+...+1/100^2>1/5 -1/101=96/505>1/6 
Vậy: 
1/6<1/5^2+1/6^2+...+1/100^2<1/4.