x+y+z=0

nên x+y=-z; y+z=-x; x+z=-y

\(\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)\left(1+\dfrac{z}{x}\right)\)

\(=\dfrac{x+y}{y}\cdot\dfrac{y+z}{z}\cdot\dfrac{x+z}{x}=-1\)

Ta có: \(P=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\)

\(=\dfrac{x+1-1}{x+1}+\dfrac{y+1-1}{y+1}+\dfrac{z+1-1}{z+1}\)

\(=3-\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{9}{x+y+z+3}=\dfrac{9}{4}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

P/s: bài này có max ko có min vì khi cho hai trong ba số tiến gần đến không thì giá trị của biểu thức ngày càng nhỏ

nhanh giùm nhé!!!!!!!!!

duyệt đi

làm xong có thù lao ko =))

5000 đ rồi tao sẽ trả lời 

Chứng minh biểu thức thế nào em?

\(A=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{9}{1+x+1+y+1+z}=\frac{9}{3+x+y+z}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)

\(A_{min}=\frac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\)

Có \(x-y-z=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-z=y\\x-y=z\\z+y=x\end{matrix}\right.\Rightarrow y-x=-z\)
Có x,y,z ≠ 0
\(\Rightarrow A=\left(1-\dfrac{z}{x}\right)\left(1-\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)\)
\(\Rightarrow A=\left(\dfrac{x-z}{x}\right)\left(\dfrac{y-x}{y}\right)\left(\dfrac{z+y}{z}\right)\)
\(\Rightarrow A=\left(\dfrac{y}{x}\right)\left(\dfrac{-z}{y}\right)\left(\dfrac{x}{z}\right)\)
\(\Rightarrow A=1\)
Vậy A = 1

A = -1
/ ấn nhầm ~ xin lỗi /
Vậy A = -1