cho B=\(\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x}\) (x>0,y>0) tm xy=1
cmr B\(\ge1\)
Tuyển Cộng tác viên Hoc24 nhiệm kì 26 tại đây: https://forms.gle/dK3zGK3LHFrgvTkJ6
PH
Những câu hỏi liên quan
Cho x,y > 0 và xy = 1. CMR: \(B\ge1\) với \(B=\frac{x^3}{y+1}+\frac{y^3}{x+1}\)
\(\frac{x^3}{y+1}+\frac{y+1}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3\left(y+1\right)}{8\left(y+1\right)}}=\frac{3}{2}x\)
Tương tự: \(\frac{y^3}{x+1}+\frac{x+1}{4}+\frac{1}{2}\ge\frac{3}{2}y\)
Cộng vế với vế:
\(B+\frac{x+y+2}{4}+1\ge\frac{3}{2}\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{5}{4}\left(x+y\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{5}{4}.2\sqrt{xy}-\frac{3}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
BL
4 tháng 1 2020 lúc 23:15
1. Cho a,b,c 0. Cmr: a) frac{bc}{a^2+2bc}+frac{ca}{b^2+2ca}+frac{ab}{c^2+2ab}le1
b) frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}lefrac{a+b+c}{4}
2. Cho x,y,z0;x+frac{y}{3}+frac{z}{5}ge3;frac{y}{3}+frac{z}{5}ge2;frac{z}{5}ge1.MaxPx^2+y^2+z^2
3. Cho x0;yge2;2x+y+xyge6.MinPx^3+y^2
4. Cho 0 alpha beta gamma. Giả sử x,y,z 0 TM zgegamma;frac{x}{alpha}+frac{y}{beta}+frac{z}{gamma}+frac{xyz}{alphabetagamma}4;frac{y}{beta}+frac{z}{gamma}+frac{yz}{betagamma}3.MinPx^3+y^...
Đọc tiếp
1. Cho a,b,c > 0. Cmr: a) \(\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ca}{b^2+2ca}+\frac{ab}{c^2+2ab}\le1\)
b) \(\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+\frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\le\frac{a+b+c}{4}\)
2. Cho \(x,y,z>0;x+\frac{y}{3}+\frac{z}{5}\ge3;\frac{y}{3}+\frac{z}{5}\ge2;\frac{z}{5}\ge1.MaxP=x^2+y^2+z^2\)
3. Cho \(x>0;y\ge2;2x+y+xy\ge6.MinP=x^3+y^2\)
4. Cho \(0< \alpha< \beta< \gamma\). Giả sử x,y,z > 0 TM \(z\ge\gamma;\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}+\frac{xyz}{\alpha\beta\gamma}=4;\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}+\frac{yz}{\beta\gamma}=3.MinP=x^3+y^3+z^3\)
Vì đã khuya nên não cũng không còn hoạt động tốt nữa, mình làm bài 1 thôi nhé.
Bài 1:
a)
\(2\text{VT}=\sum \frac{2bc}{a^2+2bc}=\sum (1-\frac{a^2}{a^2+2bc})=3-\sum \frac{a^2}{a^2+2bc}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\sum \frac{a^2}{a^2+2bc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1\)
Do đó: \(2\text{VT}\leq 3-1\Rightarrow \text{VT}\leq 1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
b)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}=\sum \frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}=\sum \frac{ab^2}{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+b^2}\leq \sum \frac{1}{16}\left(\frac{9ab^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{ab^2}{b^2}\right)\)
\(=\frac{1}{16}.\frac{9(ab^2+bc^2+ca^2)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{16}(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(3(ab^2+bc^2+ca^2)\leq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{16}.\frac{9(ab^2+bc^2+ca^2)}{a^2+b^2+c^2)}\leq \frac{3}{16}(a+b+c)(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{a+b+c}{4}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Bài 2/Áp dụng BĐT Bunyakovski:
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+3^2+5^2\right)\ge\left(x+3y+5z\right)^2\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(x+3y+5z\right)^2}{35}\) (*)
Ta có: \(x+3y+5z=x.1+\frac{y}{3}.9+\frac{z}{5}.25\)
\(=\frac{16z}{5}+8\left(\frac{y}{3}+\frac{z}{5}\right)+1\left(\frac{z}{5}+\frac{y}{3}+x\right)\)
\(\ge16+8.2+1.3=35\). Thay vào (*) là xong.
Đẳng thức xảy ra khi x = 1; y =3; z = 5
No choice teen, Akai Haruma, Arakawa Whiter, Phạm Lan Hương, soyeon_Tiểubàng giải, tth, Nguyễn Văn Đạt
@Nguyễn Việt Lâm
giúp em với ạ! Cần gấp lắm! Thanks nhiều!
Xem thêm câu trả lời
Cho các số thực dương x,y,z tm : x+y+z=4. CMR \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge1\)
1/xy+1/xz>=1
<=> 1/x(1/y+1/z) >=1
<=>1/y+1/z>=x=4-y-z
<=>1/y+y+1/z+z>=4
<=>(1/y+y)+(1/z+z)>=4 (dễ nhá,tự cm đc chứ j)
>=2 >=2
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho \(B=\frac{x^3}{1+Y}+\frac{Y^3}{1+x}\) trong do x, y la cac so duong thoa man dieu kien xy = 1. CMR \(B\ge1\)
Need some helps!
1. Cho x, y, z > 0 tm \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\) CMR:
\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
2. Cho a, b, c > 0 tm a + b + c = 1. Tìm GTNN của bt sau
\(P=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)
Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR: \(\frac{x}{y^3+2}+\frac{y}{z^3+2}+\frac{z}{x^3+2}\ge1\)
cho x+y=0 và xy khác 0
CMR: \(\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^3y^3+3}=0\)
Cho x+y=1 và xy khác 0. CMR
\(\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}=0\)
cho x+y=1 :xy khác 0 .cmr: \(\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}=0\)
biết làm rồi không giải thì thôi không cần
Đúng 0
Bình luận (0)