Đề sai.

Nếu \(P=a+b+c+9\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) thì có min, còn biểu thức này thì không có

Bạn có thể tính thử 3 bộ giá trị \(P\left(1;1;1\right)\)  (điểm rơi dự kiến); \(P\left(1;\dfrac{9}{10};\dfrac{\sqrt{119}}{10}\right)\) ; \(P\left(1;\dfrac{1}{10};\dfrac{\sqrt{199}}{10}\right)\) sẽ hiểu tại sao

áp dụng BDT AM-GM

\(=>a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)

\(=>1\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=>1\ge27\left(abc\right)^2\)\(=>27\left(abc\right)^2\le1=>3\left(abc\right)^2\le\dfrac{1}{9}=>\left(abc\right)^2\le\dfrac{1}{27}=>abc\le\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\)

\(=>\dfrac{8}{9abc}\ge\dfrac{8}{9.\dfrac{1}{3\sqrt{3}}}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\)

\(S=a+b+c+\dfrac{1}{abc}=a+b+c+\dfrac{1}{9abc}+\dfrac{8}{9abc}\)

\(=>a+b+c+\dfrac{1}{9abc}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\)

\(=>S\ge\dfrac{4}{\sqrt{3}}+\dfrac{8}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\)

dấu"=" xyar ra<=>a=b=c=\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Các bn mà cop thì nhớ giải thích giúp mik đoạn \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{abc}\) với

Bạn cần viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ bên trái khung soạn thảo) để được hỗ trợ tốt hơn.

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM:

$M=\frac{b^2+c^2}{a^2}+a^2(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$

$\geq \frac{b^2+c^2}{a^2}+a^2.\frac{4}{b^2+c^2}$

$=(\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2})+\frac{3a^2}{b^2+c^2}$

$\geq \sqrt{\frac{b^2+c^2}{a^2}.\frac{a^2}{b^2+c^2}}+\frac{3(b^2+c^2)}{b^2+c^2}$

$=2+3=5$

Vậy $M_{\min}=5$ 

Câu hỏi của Hattory Heiji - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

tvbobnokb' n

iai

  ni;bv nn0

a^2 hay a.2 thế

a^2 bn ạ!!
 

Do a+b+c= 0

<=> a+b= -c 

=> (a+b)²= c² 

Tương tự: (c+a)²= b², (c+b)²= a²   

Ta có: \(A=\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}\)

\(=\frac{1}{b^2+c^2-\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{c^2+a^2-\left(c+a\right)^2}+\frac{1}{a^2+b^2-\left(a+b\right)^2}\)

\(=\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ca}+\frac{1}{-2ab}\)

\(=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\)